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Indirekter Beweis: Irrationale Quadratwurzeln
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mo 04.02.2019
Autor: G.theta

Aufgabe
Beweise: Die Quadratwurzel aus jeder Nicht-Quadratzahl ist irrational

Hallo zusammen,

ich wollte Euch fragen, ob der unten stehende Beweis richtig ist:

Behauptung:
Die Quadratwurzel aus jeder Nicht-Quadratzahl(N) ist irrational:  √N  ∈  Irrat. Zahlen

Indirekter Beweis:
Man geht vom Gegenteil der Behauptung aus:  √N ∈ Q
√N  = a/b ,   denn alle rationale Zahlen sind in der Form  a/b  darstellbar
a und b sind ganze Zahlen und teilerfremd,  b ≠0

√N  = a/b   Gleichung quadrieren
N = [mm] a^2/b^2 [/mm]     mal [mm] b^2 [/mm]

[mm] N*b^2=a^2 [/mm] Gleichung(I)     

Geometrisch bedeutet diese Gleichung:
Ein Quadrat A mit der Seitenlänge a und der Fläche [mm] a^2 [/mm]  ist aus N Quadraten B der Seitenlänge b und der Fläche [mm] b^2 [/mm] zusammengesetzt.
Da bei einem Quadrat gilt: Länge = Breite
und das Quadrat A mit der Seitenlänge a aus lauter Quadraten B mit der Seitenlänge b zusammengesetzt ist, gilt für die Länge und Breite des Quadrates A:
Länge von A  = n * b und Breite von A = n * b  (n ∈ N)

Die Fläche des Quadrates A beträgt also:  [mm] a^2 [/mm] = n * b * n * b
[mm] a^2 [/mm] = [mm] n^2 [/mm] * [mm] b^2 [/mm] Gleichung (II)

Gleichungen (I) und (II) gleichsetzen:
N * [mm] b^2 [/mm] = [mm] n^2 [/mm] * [mm] b^2 Gleichung [/mm] durch [mm] b^2 [/mm] teilen
N = [mm] n^2 [/mm]

Das ist aber ein Widerspruch, denn N ist laut obiger Behauptung eine Nicht-Quadratzahl und [mm] n^2 [/mm]  ist immer eine Quadratzahl ( da n ∈ N sein soll).
Das Gegenteil der obigen Behauptung:  √N  ∈  Q  ist also falsch.
Deshalb ist die Behauptung wahr.

Viele Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




        
Bezug
Indirekter Beweis: Sieht gut aus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mo 04.02.2019
Autor: Infinit

Hallo G.theta,
das sieht doch gut aus. Ich  kann keinen Argumentationsfehler entdecken.
Viele Grüße,
Infinit

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Bezug
Indirekter Beweis: Dankeschön :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 Mo 04.02.2019
Autor: G.theta

Hallo Infinit,

vielen Dank für Deine Rückmeldung, da bin ich sehr erleichtert und froh, daß der Beweis richtig ist - zumal ich früher ein sehr schlechter Schüler war und nun versuche, mir im Selbststudium das eine oder andere "beizubiegen". Da freut man sich umso mehr, wenn mal was klappt :-)

Viele Grüße und noch eine schöne Woche!


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Bezug
Indirekter Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Di 05.02.2019
Autor: donquijote

Hallo,
mich überzeugt dein geometrisches Argument nicht. [mm]Nb^2=a^2[/mm] heißt erstmal nur, dass N kleine Quadrate die gleiche Fläche haben wie ein großes Quadrat. Damit ist aber noch nicht klar, dass sich das große Quadrat tatsächlich mit N kleinen Quadraten ausfüllen lässt.
Anderes Beispiel: Ein Rechteck mit Seitenlängen 4 und 5 hat die gleiche Fläche wie 5 Quadrate mit Seitenlänge 2, trotzdem lässt sich das Rechteck nicht mit den Quadraten ausfüllen.
Im Fall der gegebenen Aufgabe muss meines Erachtens noch mit den Teilern von a und b argumentiert werden: Sind a und b teilfremd, so auch [mm]a^2[/mm] und [mm]b^2[/mm]. Ist [mm]N=\frac{a^2}{b^2}[/mm] ganzzahlig, folgt daraus b=1.

Bezug
                
Bezug
Indirekter Beweis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Do 07.02.2019
Autor: G.theta

Hallo zusammen,

vielen Dank für Eure ausführlichen Antworten!

Ich grübel schon eine ganze Weile über dem Problem, aber ich komme immer wieder zum selben Ergebnis:
Man kann aus N kleinen B-Quadraten der Seitenlänge b immer nur dann ein großes A-Quadrat der Seitenlänge a legen, wenn N eine Quadratzahl ist. Denn wenn man z.B. in Längen-Richtung des großen A-Quadrates x kleine B-Quadrate legt, dann muß man auch in Breiten-Richtung des A-Quadrates x kleine B-Quadrate legen. Zusammen sind das x * x = [mm] x^2 [/mm] der B-Quadrate, die man für das A-Quadrat braucht, d.h. N = [mm] x^2, [/mm] N ist also immer eine Quadratzahl (da x eine natürliche Zahl ist).
N ist eine Quadratzahl steht im Widerspruch zur Vorraussetzung am Beweisanfang, N sei eine Nicht-Quadratzahl. Somit ist bewiesen, daß die folgende Aussage falsch ist:
Quadratwurzel aus einer Nichtquadratzahl ist rational.
D.h. die Quadratwurzel aus einer Nichtquadratzahl muß irrational sein.

Bezug
                        
Bezug
Indirekter Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Do 07.02.2019
Autor: HJKweseleit

Natürlich stimmt die Aussage, und deshalb kann ich sie mit einem Bild nicht widerlegen. Ich kann dir aber an einem Bild zeigen, was an deiner Beweisführung nicht stimmt.
[Dateianhang nicht öffentlich]

Nimm an, die kleinen Quadrate hätten die Seitenlänge b=2.Die Fläche, die du siehst, ist mit 5x5=25 solchen Quadraten und mit 10 halben solcher Quadrate ausgefüllt, also mit 30 Quadraten der Fläche 4, also mit 120 Flächeneinheiten. Das ganze Gebilde - bis auf die fehlende Fläche rechts unten, lässt sich nun mit einem Quadrat der Seitenlänge a=11 überdecken, was zu 121 Flächeneinheiten führt.

Fehlte also das Eckchen unten rechts nicht, so wäre N=30, b=2, a=11 und [mm] N*b^2=a^2, [/mm] ohne dass N eine Quadratzahl wäre.

Du musst also geometrisch beweisen, dass bei allen solchen Konstruktionsversuchen immer solch ein Eckchen wie dass rechts unten frei bleibt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Indirekter Beweis: Dankeschön!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:51 Fr 08.02.2019
Autor: G.theta

Hallo,

vielen Dank für Deine sehr ausführliche und anschauliche Antwort!


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Indirekter Beweis: Ganz kurzer Beweis?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Fr 08.02.2019
Autor: G.theta

Hallo, da bin ich doch noch mal.
Mir hat eben jemand folgenden sehr kurzen Beweis vorgeschlagen und ich wollte sicherheitshalber noch einmal fragen, ob dieser kurze Beweis denn überhaupt richtig ist:

Vorraussetzung:
Das Produkt aus einer Nichtquadratzahl N und einer Quadratzahl b² ist stets wieder eine Nichtquadratzahl (denn in N kommt mindestens ein Primfaktor ungeradzahlig oft vor, während in jeder Quadratzahl jeder Primfaktor geradzahlig oft vorkommt). Anders ausgedrückt:
Das Produkt aus einer Nichtquadratzahl N und einer Quadratzahl b² ist nie eine Quadratzahl a².
Als Ungleichung geschrieben:
N * b² [mm] \not= [/mm] a²
Umgeformt:
[mm] \wurzel{N} \not= [/mm] a/b
Da jede rationale Zahl als Quotient a/b darstellbar ist (a und b seien ganze Zahlen und teilerfremd und b [mm] \not= [/mm] 0), kann [mm] \wurzel{N} [/mm] nicht rational sein, denn [mm] \wurzel{N} \not= [/mm] a/b D.h. [mm] \wurzel{N} [/mm] ist irrational.

Sind das alles richtige und logische Schlufolgerungen oder ist dieser Beweis kein richtiger Beweis?

Viele Grüße



Bezug
                                        
Bezug
Indirekter Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Fr 08.02.2019
Autor: Fulla

Hallo G.theta,

das ist etwas unsauber formuliert, aber im Prinzip ist das nur eine andere Formulierung der hier bereits vorgetragenen Beweise.

Allerdings wird hier das schlagende Argument - nämlich die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung - nicht erwähnt. Auch könnte man anfangs erwähnen, dass $N$, $a$ und $b$ natürliche Zahlen sein sollen.

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                                                
Bezug
Indirekter Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:45 Sa 09.02.2019
Autor: G.theta

Vielen Dank Euch beiden für Eure tatkräftige Unterstützung!

Ich wünsche Euch ein schönes Wochenende!

Bezug
                                        
Bezug
Indirekter Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:32 Sa 09.02.2019
Autor: HJKweseleit

Absolut korrekt!

Bezug
        
Bezug
Indirekter Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Di 05.02.2019
Autor: HJKweseleit

Es gibt einen sehr schönen indirekten Beweis:

Ist [mm] \wurzel{N} [/mm] rational, so ist N eine Quadratzahl.
(Das bedeutet: Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder selber eine natürliche Zahl oder gleich irrational.)

Beweis:

Sei N [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \wurzel{N} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b}, [/mm] a,b [mm] \in \IN. [/mm] Dabei setzen wir voraus, dass der Bruch auf die Grundform gekürzt wurde und a und b teilerfremd sind.

[mm] \Rightarrow Nb^2 [/mm] = [mm] a^2 \in \IN. [/mm]

Wegen der eindeutigen Primdarstellung müssen nun alle Primfaktoren aus [mm] b^2 [/mm] in [mm] a^2 [/mm] enthalten sein; da a und b aber teilerfremd sind, sind dies auch [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2, [/mm] da [mm] a^2 [/mm] nur Primfaktoren aus a und [mm] b^2 [/mm] nur Primfaktoren aus b enthält. Das bedeutet, dass [mm] b^2 [/mm] und damit b =1 sein muss, und somit N = [mm] a^2. [/mm]

So kann z.B. [mm] \wurzel{N} [/mm] nicht [mm] \bruch{3}{7} [/mm] sein, denn daraus ergäbe sich [mm] N*7^2=3^2, [/mm] wobei nun 7 Primfaktor der linken, aber nicht der rechten Seite der Gleichung sein müsste.


Bezug
                
Bezug
Indirekter Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:30 Mi 06.02.2019
Autor: fred97


> Es gibt einen sehr schönen indirekten Beweis:


...... den donquijote oben schon geliefert hat ....




>  
> Ist [mm]\wurzel{N}[/mm] rational, so ist N eine Quadratzahl.
>  (Das bedeutet: Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist
> entweder selber eine natürliche Zahl oder gleich
> irrational.)
>  
> Beweis:
>  
> Sei N [mm]\in \IN[/mm] und [mm]\wurzel{N}[/mm] = [mm]\bruch{a}{b},[/mm] a,b [mm]\in \IN.[/mm]
> Dabei setzen wir voraus, dass der Bruch auf die Grundform
> gekürzt wurde und a und b teilerfremd sind.
>  
> [mm]\Rightarrow Nb^2[/mm] = [mm]a^2 \in \IN.[/mm]
>  
> Wegen der eindeutigen Primdarstellung müssen nun alle
> Primfaktoren aus [mm]b^2[/mm] in [mm]a^2[/mm] enthalten sein; da a und b aber
> teilerfremd sind, sind dies auch [mm]a^2[/mm] und [mm]b^2,[/mm] da [mm]a^2[/mm] nur
> Primfaktoren aus a und [mm]b^2[/mm] nur Primfaktoren aus b enthält.
> Das bedeutet, dass [mm]b^2[/mm] und damit b =1 sein muss, und somit
> N = [mm]a^2.[/mm]
>  
> So kann z.B. [mm]\wurzel{N}[/mm] nicht [mm]\bruch{3}{7}[/mm] sein, denn
> daraus ergäbe sich [mm]N*7^2=3^2,[/mm] wobei nun 7 Primfaktor der
> linken, aber nicht der rechten Seite der Gleichung sein
> müsste.
>  


Bezug
                        
Bezug
Indirekter Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Mi 06.02.2019
Autor: HJKweseleit

Danke für den Hinweis. Hatte mit der Antwort angefangen, war dann ein paar Stunden unterbrochen worden und habe nicht gemerkt, dass zwischenzeitlich schon die Antwort erfolgt war. Will mich nicht mit fremden Federn schmücken! Sorry.

Bezug
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