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| Aufgabe | Für alle x Element R gilt : sin x +cos x ungleich 3/2.
Gefordert ist ein indirekter Beweis |
Könnte mir jemand ein Tip geben wie ich a die Aufgabe heran gehen soll.
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo chaos0403x, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für alle x Element R gilt : sin x +cos x ungleich 3/2.
>
> Gefordert ist ein indirekter Beweis
Mit Formeleditor sähe das so aus:
Für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt: [mm] \sin{x}+\cos{x}\not=\bruch{3}{2}
[/mm]
> Könnte mir jemand ein Tip geben wie ich a die Aufgabe
> heran gehen soll.
Du gibst an "Mathe-Student im Grundstudium". Ein indirekter Beweis kann hier alles mögliche sein.
1) Du kannst zeigen, dass die Gleichung [mm] x+\wurzel{1-x^2}=\bruch{3}{2} [/mm] keine Lösung in [-1;1] besitzt.
2) Du kannst zeigen, dass die Maxima der Funktion [mm] f(x)=\sin{x}+\cos{x} [/mm] einen Funktionswert [mm] <\tfrac{3}{2} [/mm] haben (nämlich [mm] \wurzel{2}).
[/mm]
Es gibt noch ein paar mehr Möglichkeiten.
Die Frage ist daher vor allem: wie weit bist Du, was darfst Du verwenden, zu welcher Vorlesung gehört diese Aufgabe?
Wir können Dir am besten weiterhelfen, wenn Du Deine eigenen Ansätze zeigst, und wenn Du keine hast, dann wenigstens die Definitionen, die Du hier verwenden willst oder kannst.
Das ist auch der Grund, warum die Forenregeln eigene Lösungsansätze von Dir fordern.
Grüße
reverend
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Also ich bin im informatik Studium im ersten Semester.
In der Aufgabenstellung steht lediglich das was ich als Aufgabe gepostet habe nur mit dem Vorsatz "Zeige, dass ...."
Mein Lösungsansatz wäre beim indirektem Beweis das ich sin xund cos x quadriere und dann 1 das Ergebniss wäre. Weiter bin ich noch nicht gekommen, weil ich es ja für alle x Element R beweisen muss.
Mfg
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Hallo,
> Also ich bin im informatik Studium im ersten Semester.
> In der Aufgabenstellung steht lediglich das was ich als
> Aufgabe gepostet habe nur mit dem Vorsatz "Zeige, dass
> ...."
>
> Mein Lösungsansatz wäre beim indirektem Beweis das ich
> sin xund cos x quadriere und dann 1 das Ergebniss wäre.
> Weiter bin ich noch nicht gekommen, weil ich es ja für
> alle x Element R beweisen muss.
reverend hat doch schon geschrieben, wie es weiter gehen könnte.
Bei 1) verwendet er die Identität [mm] \sin^2(x)+\cos^2(x)=1, [/mm] stellt meinentwegen nach [mm] \sin(x)=\red{+}\sqrt{1-\cos^2(x)} [/mm] um. Dann setzt er noch [mm] \cos(x)=:y [/mm] und setzt in die Gleichung [mm] \sin{x}+\cos{x}=\bruch{3}{2} [/mm] ein. Bleibt die Gleichung [mm] \sqrt{1-y^2}+y=\frac{3}{2} [/mm] zu untersuchen.
Bei 2) kannst du ganz normale Extremwertsbestimmung machen.
LG
>
> Mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Sa 22.10.2011 | | Autor: | chaos0403x |
Ok, danke euch. Dann werd ich mich mal weiter versuchen.
MFG
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Hallo, ich habe die Aufgabe weiter gerechnet und bin zu folgendem Ergebniss gekommen:
[mm] \wurzel{1-y^2}+y=\bruch{3}{2} [/mm] dann -y
[mm] \wurzel{1-y^2} =\bruch{3}{2} [/mm] -y dann auf beiden Seiten quarieren
[mm] 1-y^2 =(\bruch{3}{2})^2-y^2 [/mm] dann [mm] +y^2
[/mm]
[mm] 1=(\bruch{3}{2})^2
[/mm]
das ist eine falsche Aussage und der Beweis ist fertig.
Oder?
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Do 27.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ziemlich schlimm ist wenn man [mm] (a+b)^2=a^2+b^2 [/mm] rechnet, was du gemacht hast.
ausserdem gehört auch dazu was du zum widerspr. führen willst. angenommen...
ich setze....y=
daraus folgt....
....
das ist unmögich
also Annahme falsch.
(allerdings müssen dazu die Zwischenrechnungen richtig sein!)
Gruss leduart
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Ah, habe den Fehler gefunden, nur wenn ich die klammer auflöse bekomme ich wider eine Falsche Aussage herraus.
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Hallo chaos0403x,
> Ah, habe den Fehler gefunden, nur wenn ich die klammer
> auflöse bekomme ich wider eine Falsche Aussage herraus.
Autsch, den iss schlihma doitsch ...
Eine falsche Aussage zu bekommen, ist doch genau der Sinn des indirekten Beweises.
Daraus folgt, dass deine Annahme falsch ist und die Gleichung [mm]\sqrt{1-y^2}+y^2=\frac{3}{2}[/mm] keine Lösung hat.
Schreibe mal den kompletten Beweis strukturiert am Stück auf!
Gruß
schachuzipus
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Also,
Zeige, dass für alle x Element R gilt: [mm] sin(x)+cos(x)\not=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm] dann [mm] -cos^2(x) [/mm]
[mm] sin^2(x) =1-cos^2(x) [/mm] dann
sin(x) [mm] =\wurzel{1-cos^2(x)}
[/mm]
das setze ich in die Ursprungsgleichnung ein und erhalte
y:=cos(x)
[mm] \wurzel{1-y^2}+y\not=\bruch{3}{2}
[/mm]
somit habe ich eine wahre Aussage.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Do 27.10.2011 | | Autor: | chaos0403x |
Ist das bis jetzt richtig soweit?
MFG
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Hallo nochmal,
> Also,
>
> Zeige, dass für alle x Element R gilt:
> [mm]sin(x)+cos(x)\not=\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm] dann [mm]-cos^2(x)[/mm]
>
> [mm]sin^2(x) =1-cos^2(x)[/mm] dann
>
> sin(x) [mm]=\red{\pm}\wurzel{1-cos^2(x)}[/mm]
>
> das setze ich in die Ursprungsgleichnung ein und erhalte
>
> y:=cos(x)
>
> [mm]\wurzel{1-y^2}+y\not=\bruch{3}{2}[/mm]
>
> somit habe ich eine wahre Aussage.
Ich würde es so aufschreiben:
zz.: Für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt [mm]\sin(x)+\cos(x)\neq\frac{3}{2}[/mm]
Indirekt: Annahme: es gibt ein [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]\sin(x)+\cos(x)\red{=}\frac{3}{2}[/mm]
Das führt mit deiner Rechnerei zu [mm]\pm\sqrt{1-y^2}+y=\frac{3}{2}[/mm] und dann weiter zu der quadratischen Gleichung:
[mm]2\cdot{}\left(y^2-\frac{3}{2}y+\frac{5}{8}\right)=0[/mm], die wie man leicht mit der p/q-Formel nachrechnet, keine reelle Lösung hat.
Damit ist die Annahme, dass es eine reelle Lösung der Ausgangsgleichung gibt, falsch, und der Beweis steht.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Do 27.10.2011 | | Autor: | chaos0403x |
Ich danke dir, jetzt habe ich nochmal alles durchgerechnet und alles Schritt für Schritt aufgeschrieben wie ich auf die quadratische Gleichung komme.
MFG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Do 27.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schöner ist ein direkter Beweis
:
sinx+cosx=3/2 [mm] |:\wurzel{2}
[/mm]
[mm] 1/\wurzel{2}sinx+1/\wurzel{2} cosx=3/(2*\wurzel{2})
[/mm]
mit [mm] 1/\wurzel{2})cos45°=sin45°
[/mm]
[mm] sinxcos45+cosxsin45=3/(2*\wurzel{2})
[/mm]
[mm] sin(x+45)=3/(2*\wurzel{2})>1
[/mm]
aber [mm] sin\le1!
[/mm]
Gruss leduart
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