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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mo 08.11.2004 | | Autor: | ocsw |
Berechnen Sie 1/1*2+1/2*3+1/3*4+....+1/n*(n+1)
für einige (kleine) Werte n (Kürzen Sie die Brüche). Leiten Sie daraus eine Vermutung für eine allgemeine Formel ab und beweisen Sie diese anschließend durch vollständige Induktion!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marcel |
...zu kommen (bzw.: So würde man das ohne Induktion lösen!):
[m]\summe_{k=1}^n{\frac{1}{k*(k+1)}}[/m]
[mm] $=\summe_{k=1}^n{\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)}$
[/mm]
Man beachte aber, dass man dies nur dazu nutzen darf, um die Formel, die man nach den Teilaufgaben innerhalb der Aufgabe vermutet, auf Korrektheit zu prüfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mo 08.11.2004 | | Autor: | ocsw |
Das Problem bei mir ist ja die Induktion, da ich es vorher nie hatte und das in unserem Skript nicht wirklich gut dargestellt ist. Kann mir bitte jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:39 Di 09.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo ocsw,
weißt du übrigens, warum deine Frage als Übungsaufgabe markiert wurde? Das liegt daran, dass du weder eine Begrüßung noch eine konkrete Frage zu der Aufgabe gestellt hast, sondern sie nur mal so ohne weitere Worte ins Forum gesetzt hast. Falls du nicht möchtest, dass das in Zukunft wieder passiert, denke bitte daran, dies zu tun. Wir helfen alle ehrenamtlich, wir tun das auch gerne, aber natürlich bevorzugen wir die Fragen, die freundlich gestellt werden und vor allem, wo nachgefragt wird und der Fragesteller zeigt, dass er sich Gedanken zu der Aufgabe gemacht hat. Weil du in deiner Frage (oder besser: Aufgabe) weder eine Begrüßung noch eine Anrede geschrieben hast (andere können und machen das ja auch!), habe ich mich in dem Tipp auch mal an die Allgemeinheit und nicht an dich gerichtet.
So, genug der Moralpredigt, du bist schließlich neu hier, also drücken wir mal ein Auge zu. Jetzt habe ich aber Gegenfragen an dich:
1.) Die Aufgabenstellung verlangt, die Summe mal für einige $n$ auszurechnen. Hast du das getan? (Halte dich komplett an die Aufgabenstellung, falls nicht!) Und? Hast du nun eine Vermutung bekommen, die du beweisen könntest?
2.) Falls du keine Vermutung hast, die du induktiv beweisen könntest, was hast du denn mit meinem Tipp erhalten? Oder gibt es da Probleme?
3.) Falls du eine Vermutung hast, aber der Induktionsbeweis hapert, dann schreibe doch bitte deine Rechnung bis zu der Stelle, die dir unklar ist.
Und guck vielleicht auch mal in die Mathebank, um das Prinzip der vollst. Induktion zu verstehen:
 Induktionsbeweis
Oder auch hier wurde ein Induktionsbeweis angewandt:
Bernoulli-Ungleichung
Melde dich bitte bei Problemen wieder und gib vor allem an, wo genau das Problem liegt. Wenn man nämlich die Behauptung kennt, ist der Induktionsbeweis sehr einfach. Sollen wir deine "Übungsaufgabe" jetzt in einen Frageartikel umwandeln? Falls ja, so mußt du nur anfangen, mit uns zu kommunizieren! 
Und bitte: Wenn du nun eine Frage zu der Aufgabe hast, hänge bitte einen Frageartikel anstatt einer Mitteilung an diesen Thread an. Ansonsten wird es zu leicht übersehen!
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Di 09.11.2004 | | Autor: | t.sbial |
[mm] \bruch{1}{1\odot2}= \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1\odot2}+ \bruch{1}{2\odot3}= \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1\odot2}+ \bruch{1}{2\odot3}+\bruch{1}{3\odot4}=\bruch{3}{4}
[/mm]
usw.
D.h. wir haben eine neue Folge: [mm] \bruch{1}{2},\bruch{2}{3},\bruch{3}{4},\bruch{4}{5},...,\bruch{n}{n+1}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{1\odot2}+ \bruch{1}{2\odot3}+\bruch{1}{3\odot4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
Und dies muss mit Vollständiger Induktion bewiesen werden.
IA:
n=1 l.S. [mm] \bruch{1}{1\odot2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
r.S. [mm] \bruch{1}{1+1}=\bruch{1}{2} \Box
[/mm]
IS:
Annahme: n=k
[mm] \bruch{1}{1\odot2}+ \bruch{1}{2\odot3}+\bruch{1}{3\odot4}+...+\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{k}{k+1} [/mm] sei gültig.
Schluss: n=k+1
[mm] \bruch{1}{1\odot2}+ \bruch{1}{2\odot3}+\bruch{1}{3\odot4}+...+\bruch{1}{k(k+1)}+\bruch{1}{(k+1)(k+2)}=\bruch{k+1}{k+2}
[/mm]
Beweis:
=> aus der Annahme folgt:
[mm] \bruch{k}{k+1}+\bruch{1}{(k+1)(k+2)}=\bruch{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{k²+2k+1}{(k+1)(k+2)} [/mm]
[mm] =\bruch{(k+1)²}{(k+1)(k+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{k+1}{k+2} \Box
[/mm]
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