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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Di 17.04.2007 | | Autor: | Fritze15 |
1²-2²+3²-4²+ [mm] ...+(-1)^{n+1}*n² [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}* \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Induktionsanfang ist klar.
Induktionsbehauptung:
[mm] ((-1)^{n+1}*n²)+(-1)^{(n+1)+1}*(n+1)²=(-1)^{(n+1)+1}* \bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}
[/mm]
[mm] ((-1)^{n+1)}*n²)+(-1)^{(n+2)}*(n+1)²=(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
Induktionsbewies
[mm] (-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*(n+1)²=(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)((n+2)}{2}
[/mm]
Und jetzt weis ich nicht wie ich weiter umformen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich denke, du hast da was "verdreht" im Induktionsschritt:
[mm] \underline{Ind.Vor.}: $\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot{}k=(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
[mm] \underline{Ind.Beh.}: $\summe_{k=1}^{\red{n+1}} (-1)^{k+1}\cdot{}k=(-1)^{\red{n+1}+1}\cdot{}\frac{\red{(n+1)}(\red{n+1}+1)}{2}=(-1)^{n+2}\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
[/mm]
Nun ist [mm] $\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1}\cdot{}k=\left(\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot{}k\right)+(-1)^{n+1+1}\cdot{}(n+1)$ [/mm] den letzten Summanden rausgezogen
Nun kannst du für die erste Summe (bis n) die Induktionsvoraussetzung benutzen und das dann so ummodeln, dass am Schluss das Gewünschte - also die rechte Seite der Indbeh. dasteht
Hoffe, das hilft dir weiter
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 17.04.2007 | | Autor: | Fritze15 |
Meiner Meinung nach hab ich das so gemacht wie du mir das beschreibst,nur war meine Darstellung(Summenzeichen,k)nicht ganz richtig, aber sonst hab ich den gleichen Ansatz.
Ich hatte die Induktionsvorraussetzung in meinem Induktionsbeweis bereits eingesetzt.
Mein Problem war das ich mit Umstellen nicht auf die rechte Seite gekommen bin.
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Hallo nochmal,
ja, irgendwie fehlt die ganze linke Seite der Indbeh. (also die Summe - ob nun mit oder ohne Summenzeichen geschrieben) bei dir.
Kommst du denn nun mit der Umformung im Indschritt zurecht?
Falls nicht, meld dich nochmal
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 17.04.2007 | | Autor: | Fritze15 |
Meine Aufgabe ist es doch nun dies
[mm] (-1)^{n+2}\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] $
so umzuformen bis es so
[mm] (-1)^{n+2}\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] $
aussieht?
Wenn ja, dann ist genau das mein Problemm.
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Jo,
da steht zweimal dasselbe 
ok, umzuformen ist [mm] $\left(\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot{}k\right)+(-1)^{n+2}\cdot{}(n+1)\underbrace{=}_{IndVor}(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n+2}(n+1)$
[/mm]
Klammere hier [mm] $(-1)^{n+1}(n+1)$ [/mm] aus, dann siehste es
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Di 17.04.2007 | | Autor: | Fritze15 |
Ich hab mich vertippt.
Was ich meinte war das
[mm] (-1)^{n+1}\cdot{}\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}\cdot{}(n+1)²
[/mm]
Umformen zu
[mm] (-1)^{(n+2}\cdot{} \bruch{(n+1)((n+2)}{2} [/mm]
dem.
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> 1²-2²+3²-4²+ [mm]...+(-1)^{n+1}*n²[/mm] = [mm](-1)^{n+1}* \bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
>
> Induktionsanfang ist klar.
>
> Induktionsbehauptung:
> [mm]((-1)^{n+1}*n²)+(-1)^{(n+1)+1}*(n+1)²=(-1)^{(n+1)+1}* \bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}[/mm]
>
> [mm]((-1)^{n+1)}*n²)+(-1)^{(n+2)}*(n+1)²=(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
>
> Induktionsbewies
>
> [mm](-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*(n+1)²=(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)((n+2)}{2}[/mm]
>
> Und jetzt weis ich nicht wie ich weiter umformen soll.
Es ist alles richtig. Wenn ich dich richtig verstehe, weißt du nicht, wie du zeigen sollst, dass in der letzten Gleichung die rechte gleich der linken Seite ist. Das sieht man folgender Maßen:
[mm] (-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*(n+1)²=(-1)*(-1)*(-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*\bruch{2 (n+1)²}{2}
[/mm]
[mm] (-1)*(-1)^{n+2}*\bruch{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+2}*\bruch{2(n+1)²}{2}
[/mm]
[mm] =(-1)^{n+2}*\bruch{1}{2}*(-n(n+1)+2(n+1)²)=(-1)^{n+2}*\bruch{1}{2}*(-n^2-n+2n^2+4n+2)=(-1)^{n+2}*\bruch{1}{2}*(n^2+3n+2))
[/mm]
[mm] =(-1)^{(n+2}* \bruch{(n+1)((n+2)}{2}
[/mm]
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