Induktion < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:50 Mi 14.11.2007 | | Autor: | DaPhil |
| Aufgabe | Sei [mm] g(t)=\begin{cases} exp[-\bruch{1}{1-t^2}], & \mbox{für } |t| \mbox{ < 1} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Zeige: g [mm] \in C_0^\infty(\IR) [/mm] |
Hallo, ich stoße hier auf Probleme:
Zuerst versuche ich zu zeigen, dass g(t) einen kompakten Träger hat:
supp(g) = [mm] \overline{\{t , g(t)\not=0 \}} [/mm] = [mm] \overline{\{t , |t|<1 \}} [/mm] = [mm] \{t , |t|>1 \} [/mm] = [mm] \IR/(-1,1) \subset \IR [/mm] aber nicht kompakt. Wo liegt hier mein Fehler?
Nächster Schritt: Zeige dass [mm] g^{(n)} [/mm] = [mm] \bruch{d^n}{dt^n}g(t) [/mm] = [mm] exp[-\bruch{1}{1-t^2}]*\bruch{p_n(t)}{(1-t^2)^{2n}}
[/mm]
wobei [mm] p_n(t) [/mm] ein Polynom.
Der Induktionsanfang mit n=1 ist nicht schwer. Doch der Induktionsschritt hält mich auf.
[mm] g^{(n+1)}=\bruch{d}{dt}\bruch{d^n}{dt^n}g(t)=\bruch{d}{dt}exp[-\bruch{1}{1-t^2}]*\bruch{p_n(t)}{(1-t^2)^{2n}}
[/mm]
An der Stelle kam dann die Induktionsvorraussetzung ins Spiel, weiter komme ich jedoch nicht, denn wenn ich dass jetzt nochmal nach t ableite erhalte ich:
[mm] g^{(n+1)}=exp[-\bruch{1}{1-t^2}]*(\bruch{p_1(t)*p_n(t)}{(1-t^2)^{2n+2}}+\bruch{d}{dt}\bruch{p_n(t)}{(1-t^2)^{2n}})
[/mm]
Keine Ahnung wie ich das auf die richtige Form bringen kann, wäre ja schön wenn aus dem Klammerausdruck der hintere Term wegfallen würde... Hat da jemand eine Idee? Dank im voraus, Phil
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 16.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
