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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Di 01.02.2011 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
[mm] f_{1}-f_{2}+f_{3}-f_{4}+...+f_{2n+1}=f_{2n}+1
[/mm]
wobei [mm] f_{1}=f_{2}=1 [/mm] |
Hallo,
ich beginne hier jetzt mit dem Induktionsschritt, da der Rest für mich klar ist.... Kann mir jemand sagen, ob meine Schritte richtig sind...bin etwas unsicher am Schluss:
Also. Induktionsschritt: z.z. [mm] \summe_{i=1}^{2(n+1)+1} f_{i}(-1)^{i+1}=f_{2(n+1)}+1=f_{2n+2}+1
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{2(n+1)+1}f_{i}(-1)^{i+1}=\summe_{i=1}^{2n+3}f_{i}(-1)^{i+1}=\summe_{i=1}^{2n+1}f_{i}(-1)^{i+1}-f_{2n+2}+f_{2n+3}
[/mm]
= (nach I.V.) [mm] f_{2n}+1-f_{2n+2}+f_{2n+3}=f_{2n}+1+f_{2n+1}=f_{2n}+f_{2n+1}+1=f_{2n+2}+1
[/mm]
Mein Problem ist nämlich noch ein bisschen dieses Summenzeichen. Ich frage mich, wie das genau aussieht, wenn i jetzt von 1 bis 2n+3 läuft...ich weiß nicht genau, wie ich die Frage formulieren soll. ich denke mir irgendwie, dass i ja auch irgendwann n sein muss, aber wann genau ist das der Fall und wie komtm man von da nach 2n+3...hmm.. viell. versteht jemand mein Problem (:
Viele Dank für die Hilfe
Ferolei
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Hallo Ferolei,
erstmal vorweg: alles ist richtig.
Vielleicht verstehe ich darum Deine Frage nicht, Du machst ja keinen Fehler, an dem man sehen würde, was Du nicht verstehst.
Trotzdem noch ein Hinweis ganz abseits des Summenzeichens:
> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
> [mm]f_{1}-f_{2}+f_{3}-f_{4}+...+f_{2n+1}=f_{2n}+1[/mm]
> wobei [mm]f_{1}=f_{2}=1[/mm]
> Hallo,
> ich beginne hier jetzt mit dem Induktionsschritt, da der
> Rest für mich klar ist.... Kann mir jemand sagen, ob meine
> Schritte richtig sind...bin etwas unsicher am Schluss:
> Also. Induktionsschritt: z.z. [mm]\summe_{i=1}^{2(n+1)+1} f_{i}(-1)^{i+1}=f_{2(n+1)}+1=f_{2n+2}+1[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{2(n+1)+1}f_{i}(-1)^{i+1}=\summe_{i=1}^{2n+3}f_{i}(-1)^{i+1}=\summe_{i=1}^{2n+1}f_{i}(-1)^{i+1}-f_{2n+2}+f_{2n+3}[/mm]
> = (nach I.V.) [mm]f_{2n}+1-f_{2n+2}+f_{2n+3}=f_{2n}+1+f_{2n+1}=f_{2n}+f_{2n+1}+1=f_{2n+2}+1[/mm]
Das erste Gleichheitszeichen hast Du erläutert - Induktionsvoraussetzung.
Das zweite folgt aus der rekursiven Definition der Fibonaccizahlen: [mm] f_{2n+3}=f_{2n+1}+f_{2n+2} [/mm] (Das ist hier nicht leicht zu sehen...)
Das dritte folgt aus dem Kommutativgesetz der Addition (Das ist wiederum so leicht, dass der Schritt auch entfallen kann)
Und das vierte und letzte folgt wieder aus der rekursiven Definition der F.-Zahlen.
Vielleicht solltest Du also in Deiner Lösung zumindest noch anmerken, was Du über die I.V. hinaus noch verwendest.
> Mein Problem ist nämlich noch ein bisschen dieses
> Summenzeichen. Ich frage mich, wie das genau aussieht, wenn
> i jetzt von 1 bis 2n+3 läuft...ich weiß nicht genau, wie
> ich die Frage formulieren soll. ich denke mir irgendwie,
> dass i ja auch irgendwann n sein muss, aber wann genau ist
> das der Fall und wie komtm man von da nach 2n+3...hmm..
> viell. versteht jemand mein Problem (:
Naja, nicht wirklich. In der I.V. läuft i bis 2n+1 und jetzt eben noch zwei weiter. Wenn Du willst, kannst du die Summe bis 2n+1 als Black Box verwenden; hier interessieren ja nur die beiden hinzugekommenen Summanden, die Du ja auch aus der Summe bis 2n+3 herauslöst und sie damit zurückführst auf die in der I.V. schon stehende.
Was nun gerade bei i=n "passiert", ist doch ganz unerheblich, zumal ja n gerade oder ungerade sein kann, der entsprechende Summand also positiv oder negativ wird. Der Induktionsschritt führt zwar von n auf n+1, aber der Summationsindex vergrößert sich dabei um zwei - vielleicht ist das das Problem, das Du meinst?
Grüße
reverend
>
> Viele Dank für die Hilfe
>
> Ferolei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Di 01.02.2011 | | Autor: | Ferolei |
Vielen Dank für die Rückmeldung. Ja, das mit den Definitionen schreibe ich immer über die GLeichheitszeichen, wusste nicht, ob und wie ich das hier machen kann.
Das ist irgendwie die erste Induktion, in der die Summe nicht nach n oder n+1 o.ä. läuft...genau wie du beschrieben hast, sind es hier eben zwei Schrite, die hinzukommen, was mich total irritiert hat und ich nicht wusste, ob das überhaupt so stimmt...das heißt wenn ich mir jetzt die Summanden vor 2n+1 angucken wollte, sähen die dann so aus: 2n+1,2n,2n-1,2n-2 usw? Denn mich wundert das eben, dass ich durch diese streng monoton fallende Folge irgendwann zu i=n kommen soll bzw. irgendwann bei 1....
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Di 01.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
machs dir doch etwa bei n=5 klar: 2n+1=11 also fäangst du bei 1 an und summierst bis 11, dabei kommst du auch mal bie n also bei 5 vorbei, aber das spielt keine Riolle.
es heisst hier nur, dass du immer bis zu ner ungeraden zahl summierst, mehr nicht. denn jede ungerade zahl schreibst du eben als 2n+1
und die nächste ungerade zahl ist eben 3 größer, in deiner Induktion hast du das ja auch richtig gemacht.
man müsste mehr nachdenken, wenn da stünde:[mm]\summe_{i=1}^{u}f_i [/mm] mit u ungerade natürliche Zahl.,
dann stünde oben nur ein u oder n, dennoch müsstest du bei ner Induktion zum nächst größeren u 2 gleider addieren .
Gruss leduart
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