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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Knut_87 |
| Aufgabe | Zz. durch Induktion:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] |
Hi,
ich habe schon wieder eine Frage zur Induktion:
Ich habe den Induktionsanfang gemacht und bewiesen, dass die Gleichung für n=0 gilt. Nun habe ich im Induktionsschritt vor, zu zeigen, dass die Gleichung für n+1 gilt. Mein Ansatz:
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] soll gleich [mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)!*(n-(k+1))!} [/mm] sein.
nun ist [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} +\vektor{n \\ k+1}
[/mm]
jetzt kann ich da für [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] den [mm] \bruch{n)!}{k!*(n-k)!} [/mm] einsetzen.
also [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(k+1)!*(n-(k+1))!} [/mm] soll zu [mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)!*(n-(k+1))!} [/mm] umgeformt werden
aber nun bekomme ich das nicht zu [mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)!*(n-(k+1))!} [/mm] umgeformt. Habe ich etwas falsch gemacht? Wo ist der Fehler? Wenn nein, wie kann man das dann umformen?
dankeschön, Gruß Knut
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zz. durch Induktion:
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k!*(n-k)!}[/mm]
Hallo,
zunächst wäre wichtig, wie in der Vorlesung der Binomialkoeffizient definiert wurde. Das wird man bestimmt benötigen.
> ich habe schon wieder eine Frage zur Induktion:
>
> Ich habe den Induktionsanfang gemacht und bewiesen, dass
> die Gleichung für n=0 gilt. Nun habe ich im
> Induktionsschritt vor, zu zeigen, dass die Gleichung für
> n+1 gilt. Mein Ansatz:
Soweit, so gut.
> [...] Habe ich etwas
> falsch gemacht? Wo ist der Fehler? Wenn nein, wie kann man
> das dann umformen?
Ich habe dich bereits oben darauf hingewiesen: Du brauchst die Definition für den Binomialkoeffizienten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Do 16.11.2006 | | Autor: | Knut_87 |
Hi,
danke für deine Antwort, aber auch mit der Definition komme ich nicht weiter.
Der Binomialkoeffiezient wurde bei uns rekursiv definiert, also:
(n+1)! = (n+1) * n!
leider komme ich auch damit nicht weiter :-(
ich habe das etwas umgeformt, aber weiter komm ich nicht:
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!*(n+1)}{k!*(n-k-1)!*(k+1)} [/mm]
toll wäre ja nunm wenn man [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] ausklammern könnte, aber dazu müsste ich ja irgendwie aus (n-k-1)! (n-k)! machen oder aus
(n-k)! dann (n-k-1)! machen. Geht das irgendwie?
sonst kann ich das ja nur erweitern und auf einen Bruch schreiben, jedoch hilft mir das nicht weiter. Habe ich etwas übersehen?
[mm] \bruch{n!* (n-k-1)!*(k+1) + n!*(n+1) *(n-k)!}{k!*(n-k-1)!*(k+1)* (n-k)!}
[/mm]
könntest du mir einen weiteren Hinweis geben?
Gruß Knut
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> Der Binomialkoeffiezient wurde bei uns rekursiv definiert,
> also:
>
> (n+1)! = (n+1) * n!
Das ist doch die Fakultät, nicht der Binomialkoeffizient!
Der Binomialkoeffizient ist dies: [mm] \vektor{n \\ k}. [/mm] Ohne dessen Definition wird man nicht auskommen. Wir brauchen sie, denn wenn wir nicht wissen, was mit [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] gemeint ist, werden wir nichts beweisen können.
Abgesehen davon noch ein Wort zu Deiner Induktion.
Wenn Du eine Induktion über n machst, gehen nur die n über in n+1. Keinesfalls verändert sich k. Das hast Du falsch gemacht.
(Eigentlich dachte ich, daß ich es in meinem vorigen Post geschrieben hatte, sah aber eben das Gegenteil...)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Do 16.11.2006 | | Autor: | Knut_87 |
Hi,
mir ist aufgefallen, was ich immer falsch gemacht habe und die Aufgabe nun gelöst. War eigentlich gar nicht schwer.
Danke für die Hilfe
Knut
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