Induktion (Pythagoras) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Do 12.06.2008 | | Autor: | Rumba |
| Aufgabe | Sei (H,<.|.>) ein Prä-Hilbertraum und [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} \in [/mm] H \ {0} paarweise orthogonal. Zeigen Sie durch vollständige Induktion den Satz von Pythagoras:
[mm] \parallel \summe_{k=1}^{n} x_{k} \parallel^{2}_{H} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H} [/mm] |
Der Induktionsanfang hat mit n=1 geklappt:
[mm] \parallel \summe_{k=1}^{n} x_{1} \parallel^{2}_{H} [/mm] = [mm] \parallel x_{1} \parallel^{2}_{H} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{1} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H}
[/mm]
Also hab ich meine Induktionsvoraussetzung:
[mm] \parallel \summe_{k=1}^{n} x_{k} \parallel^{2}_{H} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H}
[/mm]
Induktionsschritt: Hier fang ich bei der rechten Seite an:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H} [/mm] + [mm] \parallel x_{n+1} \parallel^{2}_{H} \bruch{IV}{=} \parallel \summe_{k=1}^{n} x_{k} \parallel^{2}_{H} [/mm] + [mm] \parallel x_{n+1} \parallel^{2}_{H} [/mm] = ... = [mm] \parallel \summe_{k=1}^{n+1} x_{k} \parallel^{2}_{H} [/mm]
Ich weiss nicht, wie ich die Umformung schaffe. Dass sie klappt, wird sicher mit dem "paarweise orthogonal" zusammenhängen.
Ich glaube ja folgendes stimmt: [mm] \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H} [/mm] = [mm] [/mm] und paarweise orthogonal heisst ja [mm] [/mm] = 0 für i [mm] \not= [/mm] k
Was hilft mir das bei der Umformung?
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Do 12.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei (H,<.|.>) ein Prä-Hilbertraum und [mm]x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n} \in[/mm]
> H \ {0} paarweise orthogonal. Zeigen Sie durch vollständige
> Induktion den Satz von Pythagoras:
>
> [mm]\parallel \summe_{k=1}^{n} x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm]
> Der
> Induktionsanfang hat mit n=1 geklappt:
> [mm]\parallel \summe_{k=1}^{n} x_{1} \parallel^{2}_{H}[/mm] =
> [mm]\parallel x_{1} \parallel^{2}_{H}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{1} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm]
>
> Also hab ich meine Induktionsvoraussetzung:
> [mm]\parallel \summe_{k=1}^{n} x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm]
>
> Induktionsschritt: Hier fang ich bei der rechten Seite an:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm] +
> [mm]\parallel x_{n+1} \parallel^{2}_{H} \bruch{IV}{=} \parallel \summe_{k=1}^{n} x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm]
> + [mm]\parallel x_{n+1} \parallel^{2}_{H}[/mm] = ... =
> [mm]\parallel \summe_{k=1}^{n+1} x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm]
>
> Ich weiss nicht, wie ich die Umformung schaffe. Dass sie
> klappt, wird sicher mit dem "paarweise orthogonal"
> zusammenhängen.
>
> Ich glaube ja folgendes stimmt: [mm]\parallel x_{k} \parallel^{2}_{H}[/mm]
> = [mm][/mm] und paarweise orthogonal heisst ja
> [mm][/mm] = 0 für i [mm]\not=[/mm] k
Betrachte doch
[mm] \left\| \summe_{k=1}^{n} x_{k} \right\|^{2}_{H} = \left< \summe_{k=1}^{n} x_{k} \Biggm| \summe_{l=1}^{n} x_{l} \right> [/mm]
und
[mm] \left\| \summe_{k=1}^{n+1} x_{k} \right\|^{2}_{H} = \left< \summe_{k=1}^{n+1} x_{k} \Biggm| \summe_{l=1}^{n+1} x_{l} \right> = \left< x_{n+1}+\summe_{k=1}^{n} x_{k} \Biggm| x_{n+1}+\summe_{l=1}^{n} x_{l} \right>[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:43 Do 12.06.2008 | | Autor: | Rumba |
Danke für den Tipp, verstehe auch, dass es darum geht, dass alle Skalarprodukte mit [mm] k\not=l [/mm] Null werden und so nur noch die [mm] [/mm] Summanden bleiben. Mein Problem is, ich sehe nicht wozu man hier eine Induktion braucht, wo ich die Induktionsvoraussetzung einsetzen soll. Mit der Methode wie ich sie jetzt im Kopf hab, braucht man die Induktion gar nich, irgendwas stimmt da nich...
$ [mm] \left\| \summe_{k=1}^{n+1} x_{k} \right\|^{2}_{H} [/mm] = [mm] \left< \summe_{k=1}^{n+1} x_{k} \Biggm| \summe_{l=1}^{n+1} x_{l} \right> [/mm] = [mm] \left< x_{n+1}+\summe_{k=1}^{n} x_{k} \Biggm| x_{n+1}+\summe_{l=1}^{n} x_{l} \right> [/mm] $ = wegen Orthogonalität = [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \parallel x_{k} \parallel^{2}_{H} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 14.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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