Induktion an komplexen Beispie < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Morgen,
gestern habe ich die Induktion an etwas einfacheren Beispielen geübt und es hat immer recht gut geklappt. nun versuche ich mich seit gestern schon an einem etwas komplexeren Beispiel.
Also die Aufgabe:
Man zeige das für jedes n Element der natürlichen Zahlen gilt:
4n≥ (2n choose n)
Mein Ansatz:
Induktionsanfang:
A1: [mm] 4^1 \ge \left( \bruch{2!}{1!*2!} \right) [/mm]
Induktionsvoraussetzung:
es gibt ein n aus [mm] \IN [/mm] für das gilt:
[mm] 4^n \ge \left( \bruch{2n!}{(2n-n)!*n!} \right) [/mm]
Induktionsschritt: A1-> A n+1
4^(n+1) [mm] \ge \left( \bruch{2(n+1)!}{(n+1)!*(n+1)!} \right)
[/mm]
[mm] 4^n [/mm] * 4 [mm] \ge \left( \bruch{2(n+1)!}{(n+1)!*(n+1)!} \right)
[/mm]
Stimmt das so? jedenfalls der Ansatz ? oder bin ich auf einem Irrweg? Leider habe ich keinen Schimmer wie ich jetzt weiter umforme? könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 So 03.11.2013 | | Autor: | chrisno |
> Guten Morgen,
> gestern habe ich die Induktion an etwas einfacheren
> Beispielen geübt und es hat immer recht gut geklappt. nun
> versuche ich mich seit gestern schon an einem etwas
> komplexeren Beispiel.
> Also die Aufgabe:
> Man zeige das für jedes n Element der natürlichen Zahlen
> gilt:
> 4n≥ (2n choose n)
>
> Mein Ansatz:
> Induktionsanfang:
> A1: [mm]4^1 \ge \left( \bruch{2!}{1!*2!} \right)[/mm]
Sicherheitshalber solltest Du noch hinschreiben, was Du als Ergebnis des Bruchs herausbekommst.
>
> Induktionsvoraussetzung:
> es gibt ein n aus [mm]\IN[/mm] für das gilt:
> [mm]4^n \ge \left( \bruch{2n!}{(2n-n)!*2n!} \right)[/mm]
Da fehlen Klammern
[mm]4^n \ge \left( \bruch{(2n)!}{(2n-n)!*(2n)!} \right)[/mm]
>
> Induktionsschritt: A1-> A n+1
der Schluss geht von n auf n+1
Zu zeigen ist: Wenn es für n gilt, dann gilt auch es auch für n+1
Nun fängt man praktisch meistens mit n+1 an und findet dann, wo man den Fall n einsetzen kann. Nur muss man immer darauf achten, dass man die Logik richtig ansetzt.
> 4^(n+1) [mm]\ge \left( \bruch{2n+2!}{(n+1)!*(2n+2)!} \right)[/mm]
die rechte Seite stimmt gar nicht. Nimm die Voraussetzung, setze jedes n in Klammern und ersetze es dann durch n+1 und schau an was herauskommt.
>
> [mm]4^n +4^n \ge \left( \bruch{2n+2!}{(n+1)!*(2n+2)!} \right)[/mm]
au weia [mm]4^{n+1} \ne 4^n +4^n[/mm]
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okay überarbeitet lautet der Term dann:
[mm] 4^n [/mm] * 4 [mm] \ge \left( \bruch{2(n+1)!}{(n+1)!*(n+1)!} \right)
[/mm]
oder?
Wie mache ich jetzt an dieser Stelle weiter?
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Hallo,
> okay überarbeitet lautet der Term dann:
>
> [mm]4^n[/mm] * 4 [mm]\ge \left( \bruch{2(n+1)!}{(n+1)!*(n+1)!} \right)[/mm]
>
> oder?
>
> Wie mache ich jetzt an dieser Stelle weiter?
am besten überhaupt nicht, weil es nämlich nach wie vor falsch ist. Hast du den Hinweis von chrisno mit den Klammern gelesen?
Viel mehr kann man dazu nicht sagen, höchstens noch die Anregung aussprechen, einmal wieder über den Sinn und Zweck von Klammern in der Mathematik nachzudenken...
Gruß, Diophant
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ok wenn ich dies versuche erhalte ich:
Ursprungsterm:
[mm] \left( \bruch{n!}{(n-k)! * k!} \right)
[/mm]
2n chosse n einsetzten:
[mm] \left( \bruch{(2n)!}{(2n-n)!* (n)!} \right)
[/mm]
n+1 einsetzten:
[mm] 4^n [/mm] + 4 [mm] \ge \left( \bruch{2(n+1)!}{(n(n+2))! * (n+1)!} \right)
[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 So 03.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst definitiv an den Termumformungen arbeiten.
Du willst zeigen, dass
[mm] 4^{n}\ge\underbrace{\frac{(2n)!}{\underbrace{(2n-n)!}_{=n!}\cdot n!}}_{={2n\choose n}}
[/mm]
Nun ersetze alle n durch (n+1), die Klammern sind immens wichtig.
Dann musst du also zeigen, dass:
[mm] 4^{(n+1)}\ge\frac{(2\cdot(n+1))!}{(n+1)!\cdot(n+1)!}
[/mm]
Das geht am besten in einer Ungleichungskette, fange wie folgt an
[mm] 4^{n+1}=4\cdot4^{n}\stackrel{I.V}{\ge}4\cdot\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}=\ldots\ldots\ldots\frac{(2\cdot(n+1))!}{(n+1)!\cdot(n+1)!}
[/mm]
Die Punkte musst du natürlich noch mit passenden Termumformungen/(Un)gleichungen füllen
Marius
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Danke. Diesen Term hatte ich ja eben aber dann wurde mir gesagt das er nicht stimmt. Naja vielleicht war ja auch ein Tippfehler drin 
also dein Vorschlag ist gut. Soweit war ich auch. Leider nin ich mir an dieser Stelle nicht sicher:
Kann ich die Ungleichungskette wie folgt weiterführen? :
4 * [mm] \left( \bruch{(2n)!}{(n)!*(n)!} \right) \ge \left( \bruch{(2n)!}{(n+1))!*(n+1)!} \right) [/mm] --> der der Wert ja immer kleiner wird umso größer der Nenner ist für alle n aus [mm] \IN [/mm]
stimmt das? kann man das so schreiben? Wie komme ich jetzt auf den letzten Schritt?
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> also dein Vorschlag ist gut. Soweit war ich auch. Leider
> nin ich mir an dieser Stelle nicht sicher:
> Kann ich die Ungleichungskette wie folgt weiterführen? :
> 4 * [mm]\left( \bruch{(2n)!}{(n)!*(n)!} \right) \ge \left( \bruch{(2n)!}{(n+1))!*(n+1)!} \right)[/mm]
> --> der der Wert ja immer kleiner wird umso größer der
> Nenner ist für alle n aus [mm]\IN[/mm]
> stimmt das?
Hallo,
Deine Abschätzung ist richtig. Sie ist aber nicht zielführend, denn Dein Ziel ist größer als das [mm] \left( \bruch{(2n)!}{(n+1))!*(n+1)!} \right), [/mm] was nun dasteht.
Beim Abschätzen muß man manchmal ein wenig probieren. Oftmals darf man nicht zu grob abschätzen, sondern muß etas Fingerspitzengefühl walten lassen.
Schau:
ich will von 17 mit einer Ungleichungskette zur 10 kommen.
Das gelingt mir z.B. so: 17>16>12>10.
Aber wenn ich gleich am Anfang mit dem Holzhammer vorgehe und abschätze 17> 7> ... komme ich niemals zur 10.
Mal zur Technik:
wenn Du bei Induktionen (und auch sonst) Ungleichungsketten hast, hilft es oftmal, wenn man sich nicht nur von vorne nach hinten, sondern gleichzeitig auch von hinten nach vorne vorarbeitet:
4 [mm] *\left( \bruch{(2n)!}{(n)!*(n)!} \right) \ge [/mm] ... ... ... ... ... ... [mm] =\left( \bruch{(2(n+1))!}{(n+1))!*(n+1)!} \right)
[/mm]
Erste Überlegung
4 [mm] *\left( \bruch{(2n)!}{(n)!*(n)!} \right) \ge [/mm] ... ... ... ... ... ... [mm] \left( \bruch{(2n)!(2n+1)*(2n+2)}{(n!(n+1)*n!(n+1)} \right)=\left( \bruch{(2(n+1))!}{(n+1))!*(n+1)!} \right)
[/mm]
Weiter
4 [mm] *\left( \red{\bruch{(2n)!}{(n)!*(n)!}} \right) \ge [/mm] ... ... ... ... ... ... [mm] =\left( \bruch{\red{(2n)!}(2n+1)*2}{(\red{n!*n!}(n+1)} \right)=\left( \bruch{(2n)!(2n+1)*(2n+2)}{(n!(n+1)*n!(n+1)} \right)=\left( \bruch{(2(n+1))!}{(n+1))!*(n+1)!} \right)
[/mm]
Manches stimmt jetzt ja schon gut überein, und Du mußt nun sehen, wie Du den Rest abschätzt.
Am Ende schreibst Du dann nur Deine letzte, endgültige Ungleichungskette hin.
LG Angela
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Danke. das hilft mir sehr. Alle deine Schritte sind mehr sehr schlüssig. Allerdings habe ich jetzt eine halbe Stunde überlegt und mir ist unklar wie ich weiter ausformuliere. Da ich meiner Meinung nach nichts mehr kürzen kann und auch die Fakultäten nicht weiter umformen kann. Was mache ich nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 03.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke. das hilft mir sehr. Alle deine Schritte sind mehr
> sehr schlüssig. Allerdings habe ich jetzt eine halbe
> Stunde überlegt und mir ist unklar wie ich weiter
> ausformuliere. Da ich meiner Meinung nach nichts mehr
> kürzen kann und auch die Fakultäten nicht weiter umformen
> kann. Was mache ich nun?
Fs geht um Abschätzen, da darf auch ein passendes > oder < auftauchen.
Gehen wir mal von dem Ersten Term aus, den Angela hinter die Punkte geschrieben hat:
[mm] \bruch{\red{(2n)!}(2n+1)\cdot{}2}{(\red{n!\cdot{}n!}(n+1)}
[/mm]
Hier solltest du das n+1 noch aus dem Nenner kürzen.
Es gilt:
[mm] \bruch{(2n)!\cdot(2n+1)\cdot2}{n!\cdot n!\cdot(n+1)}
[/mm]
[mm] <\bruch{(2n)!\cdot(2n+\red{2})\cdot2}{n!\cdot n!\cdot(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n)!\cdot2(n+1)\cdot2}{n!\cdot n!\cdot(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n)!\cdot2\cdot2}{n!\cdot n!}
[/mm]
Damit haben wir den Nenner schonmal passend.
Nun wieder du.
Marius
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okay dann würde ich jetzt fortsetzen mit:
[mm] \left( \bruch{(2n)!* 2 * 2}{(n)!*(n)!} \right) \ge \left( \bruch{(2n)!}{(n)!*(n)!} \right)
[/mm]
mit der Begründung das der Wert immer größer ist umso größer der Zähler ist. und mit den Faktoren 2*2 ist der linke Term ja definitiv größer. kann man das so begründen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 So 03.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay dann würde ich jetzt fortsetzen mit:
> [mm]\left( \bruch{(2n)!* 2 * 2}{(n)!*(n)!} \right) \ge \left( \bruch{(2n)!}{(n)!*(n)!} \right)[/mm]
>
> mit der Begründung das der Wert immer größer ist umso
> größer der Zähler ist. und mit den Faktoren 2*2 ist der
> linke Term ja definitiv größer. kann man das so
> begründen?
Am besten noch mit einem Zwischenschritt
[mm] \frac{4\cdot(2n)!}{n!\cdot n!}=4\cdot\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}>\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}
[/mm]
Dann ist es wirlich offensichtlich.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 So 03.11.2013 | | Autor: | Robin1990 |
Vielen Dank für eure Hilfe & Geduld ihr seid wirklich klasse!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 So 03.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
zwei Bitten:
- vermeide in diesem Zusammenhang die Verwendung des Adjektivs komplex, das führt nur zu Missverständnissen, da man sonst meinbt, die Frage hätte etwas mit komplexen Zahlen zu tun.
- solche Fragen gehören sicherlich nicht in den Bereich Schulmathematik eingestellt!
Gruß, Diophant
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