Induktion einer Funktionfolge < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Mi 08.11.2006 | | Autor: | zero2006 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] /{0}
Beweise, dass die Funktionen sin x, sin 2x, ..., sin nx im [mm] \IR [/mm] - Vektorraum aller Funktionen [mm] \IR \to \IR [/mm] linear unabhängig sind |
Also ich habe da ein kleines Problem mit dem Induktionsbeweis,
ich fang eingach mal an:
IA: sein n = 1
[mm] a\*sin [/mm] x ist in der tat nur dann die null-Funktion wenn a = 0
IS von n [mm] \to [/mm] n+1
Also jetzt fängt es an zu hapern es soll ja gelten wenn ich annehme
dass
[mm] a_{1}sin(x)+a_{2}sin(2x)+...+a_{n}sin(nx)=0
[/mm]
nur dann gilt wenn [mm] a_{1}=...=a_{n}=0
[/mm]
also muss man ja zeigen dass
[mm] a_{1}sin(x)+a_{2}sin(2x)+...+a_{n}sin(nx)+a_{n+1}sin((n+1)x)=0
[/mm]
wenn [mm] a_{1}=...=a_{n+1}=0
[/mm]
Jetzt haben wir einen Tip wir sollen mit der Ableitung arbeiten
wenn ich jetzt aber den letzten Term 2 x ableite dann bekomme ich doch nicht den (n+1) Term weg denn sin((n+1)x) zweimal abgeleitet ergibt ja
[mm] -(n+1)^{2}sin((n+1)x)
[/mm]
kann mir jetzt da einer helfen?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mi 08.11.2006 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo zero
So wie du angefangen hast, kann ich dir nicht gut weiterhelfen.
Aber einen direkteren Beweis:
1.\summe_{i=1}^{n}a_i*sinix =0 daraus folgt die Ableitung ist auch 0
2.\summe_{i=1}^{n}a_i* i*cosix=0 also auch an der Stelle x=0 daraus
3.\summe_{i=1}^{n} a_i*i=0
4. Ableitung von 2. \summe_{i=1}^{n} -i^2*a_i sinix=0
5.Abltg von 4. \summe_{i=1}^{n}-i^3a_i*cosix=0 bei x=0:\summe_{i=1}^{n}i^3*a_i =0
usw, usw.
Damit bekommst du ein Gleichungssystem für die a_k
Wenn die Determinante davon \ne 0 dann bist du fertig. Das wiederum ist leichter mit vollst. Induktion zu zeigen.
Anderer Weg: \summe_{i=1}^{n}a_i*sinix =0 multipliziert mit sinkx und integriert über eine Periode 2\pi
also \summe_{i=1}^{n}a_i*\integral_{0}^{2\pi}sinix *sinkx dx}=0
Wegen \integral_{0}^{2\pi}sinix *sinkx dx}=0 für i\nek bleibt nur
a_k*\integral_{0}^{2\pi}sin^2kx dx}=0 und wegen \integral_{0}^{2\pi}sin^2kx dx}\ne 0 folgt a_k=0 und das für alle k\len
(Das heisst, dass die Funktionen orthogonal sind.
Den 2. Beweis find ich viel einfacher, Zu zeigen bleibt dir nur
\integral_{0}^{2\pi}sinix *sinkx dx}=0 für i\nek zweimalige partielle Integration zeigt das leicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 08.11.2006 | | Autor: | zero2006 |
Hallo zero
So wie du angefangen hast, kann ich dir nicht gut weiterhelfen.
Aber einen direkteren Beweis:
[mm] 1.\summe_{i=1}^{n}a_i*sinix [/mm] =0 daraus folgt die Ableitung ist auch 0
[mm] 2.\summe_{i=1}^{n}a_i* [/mm] i*cosix=0 also auch an der Stelle x=0 daraus
[mm] 3.\summe_{i=1}^{n} a_i*i=0 [/mm]
4. Ableitung von 2. [mm] \summe_{i=1}^{n} -i^2*a_i [/mm] sinix=0
5.Abltg von 4. [mm] \summe_{i=1}^{n}-i^3a_i*cosix=0 [/mm] bei [mm] x=0:\summe_{i=1}^{n}i^3*a_i [/mm] =0
usw, usw.
Damit bekommst du ein Gleichungssystem für die [mm] a_k [/mm]
Wenn die Determinante davon [mm] \ne [/mm] 0 dann bist du fertig. Das wiederum ist leichter mit vollst. Induktion zu zeigen.
Anderer Weg: [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i*sinix [/mm] =0 multipliziert mit sinkx und integriert über eine Periode [mm] 2\pi [/mm]
also [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i*\integral_{0}^{2\pi}sinix [/mm] *sinkx dx =0
Wegen [mm] \integral_{0}^{2\pi}sinix [/mm] *sinkx dx =0 für [mm] i\nek [/mm] bleibt nur
[mm] a_k*\integral_{0}^{2\pi}sin^2kx [/mm] dx =0 und wegen [mm] \integral_{0}^{2\pi}sin^2kx [/mm] dx [mm] \ne [/mm] 0 folgt [mm] a_k=0 [/mm] und das für alle [mm] k\len [/mm]
(Das heisst, dass die Funktionen orthogonal sind.
Den 2. Beweis find ich viel einfacher, Zu zeigen bleibt dir nur
[mm] \integral_{0}^{2\pi}sinix [/mm] *sinkx dx=0 für [mm] i\nek [/mm] zweimalige partielle Integration zeigt das leicht.
Gruss leduart
Sorry musste es einfach nochmal kopieren waren ein paar tipp fehler drin
nochmals danke
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