Induktion mit n in der Potenz < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 30.10.2008 | | Autor: | Kocram |
| Aufgabe | Zeigen sie für n [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \not= [/mm] 1:
[mm] (1+x)(1+x²)(1+x^4)...(1+(x^2)^n) [/mm] = [mm] \bruch{1 - (x^2)^n^+^1}{1-x} [/mm] |
Hallo,
den Induktionsanfang habe ich bereits gemacht und komme auf ein wahres Ergebnis, da [mm] 1-x^4=1-x^4 [/mm] wahr ist.
Der Induktionsschluss müsste doch nun wie folgt aussehen:
[mm] (1+x)(1+x²)(1+x^4)...(1+x^{2n+2}) [/mm] = [mm] \bruch{1 - x^2^n^+^4}{1-x}
[/mm]
Ist es soweit richtig und wie geht es weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Do 30.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Zeigen sie für n [mm]\in \IN[/mm] und x [mm]\not=[/mm] 1:
> [mm](1+x)(1+x²)(1+x^4)...(1+(x^2)^n)[/mm] = [mm]\bruch{1 - (x^2)^n^+^1}{1-x}[/mm]
Es geht auch ohne Induktion, was ist wenn du beide Seiten der Gleichung mit $1-x$ multiplizierst?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 30.10.2008 | | Autor: | Kocram |
Ich komme auf:
[mm] (1-x²)(1-x^3+x²-x)(1-x^5+x^4-x)...(1-(x^2)^n^+^1)=1-(x^2)^n^+^1
[/mm]
Dann habe ich versucht die ersten 3 Gleichungen auszumultiplizieren, daraus folgt:
[mm] (1-x^1^0+2x^9-x^8-2x^6+2x^5-x²)...(1-(x^2)^n^+^1)=1-(x^2)^n^+^1
[/mm]
Aber da hört es dann auch wieder auf.
x=0 zu setzen wäre ja zu einfach oder?
edit: Habs verstanden, vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Do 30.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Nee ich meine so:
[mm] $\red{(1-x)\cdot(1+x)}(1+x^2)(1+x^4)\cdot...\cdot(1+(x^n)^2)=\red{(1-x^2)(1+x^2)}(1+x^4)\cdot...\cdot(1+(x^n)^2)=\red{(1-x^4)(1+x^4)}\cdot...\cdot(1+(x^n)^2=...$ [/mm] usw. Also einfach n-faches Anwenden der 3. binomischen Formel.
Gruß, Robert
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