Induktion und natürliche Z. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] p\ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl. Dann ist [mm] p^n [/mm] > n für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo,
ich habe hierzu einen Beweis aufgestellt. Will mal gucken, was ihr davon haltet.
Beweis über Induktion über n.
I.A.: Sei n=1, dann haben wir [mm] p^1>1, [/mm] mit p [mm] \ge [/mm] 2 ist das eine wahre Aussage.
I.V.: Die Behauptung gelte für ein bel. k [mm] \in \IN, [/mm] also [mm] p^k [/mm] > k [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
I.S.: z.z. aus der I.V. folgt dann auch [mm] p^{k+1}>k+1
[/mm]
[mm] p^{k+1}=p^k p^1 [/mm]
mit [mm] p^k>k [/mm] und [mm] p^1>1 [/mm] folgt dann sofort, dass
[mm] p^{k+1}=p^k p^1 [/mm] > k+1
Was meint ihr, reicht das so??
Grüße
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Huhu,
> [mm]p^{k+1}=p^k p^1[/mm]
>
> mit [mm]p^k>k[/mm] und [mm]p^1>1[/mm] folgt dann sofort, dass
>
> [mm]p^{k+1}=p^k p^1[/mm] > k+1
Aha.
Warum? Wenn das sofort folgt, kannst du es ja auch begründen.
Da steht ein Produkt! Und auf der anderen Seite ne Summe.
Wie kommst du vom Produkt zur Summe?
> Was meint ihr, reicht das so??
Nein.
MFG,
Gono.
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> Aha.
> Warum? Wenn das sofort folgt, kannst du es ja auch begründen.
> Da steht ein Produkt! Und auf der anderen Seite ne Summe.
> Wie kommst du vom Produkt zur Summe?
Hmmm,
ich dachte, dass folgt wegen $ [mm] p^k>k [/mm] $ und $ [mm] p^1>1 [/mm] $..
Wie kann ich das denn sonst begründen??
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Huhu,
> ich dachte, dass folgt wegen [mm]p^k>k[/mm] und [mm]p^1>1 [/mm]..
dann steht da erstmal nur, wenn du das korrekt eingesetzt hättest:
[mm] $p^k*p^1 [/mm] > k*1 = k$
Nix von +1
Du brauchst hier [mm] $p\ge [/mm] 2$ und mach dir klar, dass $2k > k+1$ gilt.
MFG,
Gono.
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Hi Gono,
> dann steht da erstmal nur, wenn du das korrekt eingesetzt hättest:
> $ [mm] p^k\cdot{}p^1 [/mm] > [mm] k\cdot{}1 [/mm] = k $
> Nix von +1
> Du brauchst hier $ [mm] p\ge [/mm] 2 $ und mach dir klar, dass $ 2k > k+1 $ gilt.
D.h. ich erhalte dann [mm] p^{k+1}=p^k p^1
[/mm]
mit [mm] p^k>k [/mm] und [mm] p^1>1 [/mm] folgt dann: [mm] p^{k+1}=p^k p^1>k*1=k
[/mm]
So, wo bringe ich jetzt das mit p [mm] \ge [/mm] 2, also wo setze ich das ein? dass dann 2k > k+1 müsste ja klar sein, zumindest für k > 1.
kann ich dann einfach schreiben [mm] p^{k+1}=p^k p^1>k*1=k<2k>k+1 [/mm] und somit wäre der Beweis dann zuende?
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Hi jaruleking,
> kann ich dann einfach schreiben [mm] p^{k+1}=p^k p^1>k*1=k<2k>k+1
[/mm]
> und somit wäre der Beweis dann zuende?
so darfst du das nicht schrieben. Eine Abschätzung darf immer nur Zeichen in eine Richtung enthalten (nicht größer und kleiner gleichzeitig), weil man dann nicht mehr eindeutig erkennen kann, was jetzt größer oder kleiner als was ist.
Mach doch einfach mehrere Schritte mit Begründungen:
[mm] p^{k+1}=p^k p^1>k*p [/mm] (beide Seiten mit p>2 multipliziert)
Also ist [mm] p^{k+1}>2k, [/mm] denn p>2
.....
Jetzt dürfte es doch sicher gehn.
Gruß,
spongegar
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Hi,
meinst du das also so:
[mm] p^{k+1}=p^k p^1>k\cdot{}p [/mm] nach I.V.
Multipliziert man nun beiden Seiten mit p > 2, so erhält man:
[mm] p^{k+1}=p^k [/mm] 2>2k und offensichtlich ist 2k>k+1 für k [mm] \in \IN
[/mm]
=> [mm] p^{k+1}=p^k p^1>p^k [/mm] 2>2k > k+1
jetzt müsste es aber vollständig sein, oder??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Di 19.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi,
>
> meinst du das also so:
>
> [mm]p^{k+1}=p^k p^1>k\cdot{}p[/mm] nach I.V.
>
> Multipliziert man nun beiden Seiten mit p > 2, so erhält
> man:
du hast doch nirgends mit 2 mult?
du hast nur in
[mm] $p^{k+1}>k\cdot{}p$ [/mm]
benutzt p>2 damit hast du dann
[mm] $p^{k+1}>k\cdot{}p>2k$ [/mm]
> [mm]p^{k+1}=p^k[/mm] 2>2k und offensichtlich ist 2k>k+1 für k [mm]\in \IN[/mm]
für k=1 "offensichlich" falsch, also schreib nicht "offensichtlich" sondern 2K=k+k für k>1 gilt dann...
> => [mm]p^{k+1}=p^k p^1>p^k[/mm] 2>2k > k+1
>
> jetzt müsste es aber vollständig sein, oder??
Du hast alle Teile kapiert, solltest aber sorgfältiger aufschreibewn.!!
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Di 19.04.2011 | | Autor: | jaruleking |
ok, vielen Dank an euch.
Grüße
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