Induktionsbeweis? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mo 02.11.2015 | | Autor: | Anmahi |
| Aufgabe | Sei n ∈ ℕ. Zeigen Sie
[mm] \summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k}\le [/mm] n |
Ich dachte mir, dass man das durch vollständige Induktion lösen kann und habe n [mm] \to [/mm] n+1 eingesetzt. Allerdings komme ich mit dem [mm] 2^{n} [/mm] und dem [mm] \le [/mm] -Zeichen nicht weiter. Da weiß ich einfach nicht wie das gehen soll. Kann mir da einer vielleicht einen Tipp oder einen richtigen Ansatz geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mo 02.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast ja zu zeigen, dass
$ [mm] \summe_{k=1}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k}\le [/mm] n+1$
Fang also mal an
$ [mm] \summe_{k=1}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k} [/mm] $
ergibt, mit der Ausfpaltung der Summe (EDIT; DANKE schachuzipus) $
Nun, mit der Induktionsvoraussetzung
$ = [mm] \left(\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k}\right)+\left(\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k}\right) [/mm] $
Die vordere Klammer ist nach Ind-vorauss. kleiner als n, die hintere Klammer besteht aus [mm] 2^k [/mm] Summanden, die aber alle kleiner als [mm] \frac{1}{2^{k}} [/mm] sind. Damit solltest du die Abschätzung, die zu zeigen ist, hinbekommen.
Marius
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Hallo Marius,
> Hallo und
>
> Du hast ja zu zeigen, dass
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k}\le n+1[/mm]
>
> Fang also mal an
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k}[/mm]
> ergibt, mit der Aufpaltung der Summe:
>
> [mm]=\left(\summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k}\right)+\frac{1}{n+1}[/mm]
Sicher, dass das stimmt?
Ich meine, das sollte heißen [mm]... \ = \ \left(\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k}\right) \ + \ \left(\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k}\right) \ = \ ...[/mm]
> Nun, mit der Induktionsvoraussetzung
> [mm]\le n+\frac{1}{n+1}[/mm]
>
> Nun solltest du noch die letzte Abschätung ([mm] n+\frac{1}{n+1} \le n+1 [/mm])
> vernünftig begründen, das sollte aber kein Problem mehr
> sein
>
> Marius
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mo 02.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo schachuzipus
Da hast du recht, ich ändere es gleich ab.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 02.11.2015 | | Autor: | Anmahi |
> ergibt, mit der Aufpaltung der Summe:
>
> [mm]=\left(\summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k}\right)+\frac{1}{n+1}[/mm]
> Nun, mit der Induktionsvoraussetzung
> [mm]\le n+\frac{1}{n+1}[/mm]
Das [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] steht das auf der rechten seite vom [mm] \le [/mm] weil das auf der linken seite aus der summe gezogen wurden?
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Hallo,
> > ergibt, mit der Aufpaltung der Summe:
> >
> >
> [mm]=\left(\summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k}\right)+\frac{1}{n+1}[/mm]
> > Nun, mit der Induktionsvoraussetzung
> > [mm]\le n+\frac{1}{n+1}[/mm]
>
>
> Das [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] steht das auf der rechten seite vom [mm]\le[/mm]
> weil das auf der linken seite aus der summe gezogen wurden?
Nein, da hat Marius sich vertan.
In meiner Mitteilung steht, wie du die Summe korrekt aufspaltest.
Schaue da mal, dann kannst du die IV benutzen:
[mm]\left(\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k}\right) \ + \ \left(\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k}\right)[/mm]
Das macht man, um auf die erste Summe eben die IV anwenden zu können:
[mm]... \ \le n \ \text{nach IV} \ + \left(\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k}\right)[/mm]
Nun musst du dir die verbliebene Summe rechterhand ansehen und begründen, warum die [mm]\le 1[/mm] ist.
Damit wärest du insgesamt bei [mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \ \le \ n+1[/mm]
Also da, wo du hin willst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 03.11.2015 | | Autor: | Anmahi |
Also ist dann die Lösung:
Behauptung: [mm] \summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k} \le [/mm] n
Beweis: Durch vollständige Induktion
Induktionsanfang: Sei n=1
[mm] \summe_{k=1}^{2^{1}-1}\bruch{1}{k} \le [/mm] 1
[mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{1} [/mm] = 1
Induktionsvoraussetzung:
gilt für festes, aber beliebiges k [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsschritt:
n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=1}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k} \le [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k} \le \summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{2^{n}} [/mm] * [mm] \summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1} [/mm] * 1 [mm] \le \bruch{1}{2^{n}} [/mm] * [mm] 2^{n} \le [/mm] 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Di 03.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Anmahi!
> Also ist dann die Lösung:
>
> Behauptung: [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k} \le[/mm] n
für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
> Beweis: Durch vollständige Induktion
> Induktionsanfang: Sei n=1
Zu zeigen:
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{1}-1}\bruch{1}{k} \le[/mm] 1
Beweis:
> [mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{1}[/mm] = 1
>
> Induktionsvoraussetzung:
Die Behauptung
> gilt für festes, aber beliebiges k [mm]\in \IN[/mm]
Du meinst [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
> Induktionsschritt:
> n [mm]\to[/mm] n+1
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k}[/mm] =[mm]\summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k}[/mm]
Okay.
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}-1}\bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k} \le[/mm] n+1
Diese Zeile ist (so wie sie hier steht) überflüssig.
Es gilt
> [mm]\summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k} \le \summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{2^{n}} \le \bruch{1}{2^{n}}[/mm] * [mm]\summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}[/mm] * 1 [mm]
> \le \bruch{1}{2^{n}}[/mm] * [mm]2^{n} \le[/mm] 1
Deine Idee ist richtig.
Zu zeigen:
[mm] $\sum_{k=1}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k}\le [/mm] n+1$.
Beweis:
[mm] $\sum_{k=1}^{2^{n+1}-1}\bruch{1}{k}=\sum_{k=1}^{2^{n}-1}\frac{1}{k}+\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k}\overset{\text{IV}}{\le}n+\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k}\le n+\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{2^n}=n+1$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Di 03.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marius!
> die hintere Klammer besteht aus [mm]2^k[/mm] Summanden, die aber
> alle kleiner als [mm]\frac{1}{2^{k}}[/mm] sind.
Du meinst "kleiner-gleich". 
Gruß
DieAcht
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