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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 So 28.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Man beweise die Produktregel
[mm] (f*g)^{(n)}=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)} g^{(n-k)}
[/mm]
für n-fach differenzierbare Funktionen f, g . |
Huhu!
Mir ist schon klar, daß man das per vollständiger Induktion beweisen muß, bloß will mein von der Erkältung verstopftes Gehirn mir nicht verraten wie.
Als Anfang hab ich [mm] (f*g)^{(0)}=f*g. [/mm] Stimmt also.
Und wie weiter? Muß ich um von n auf n+1 zu kommen, die Summe nochmal differenzieren?
Gruß
Iris
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Hallo IrisL.!
> Man beweise die Produktregel
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> [mm](f*g)^{(n)}=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)} g^{(n-k)}[/mm]
>
> für n-fach differenzierbare Funktionen f, g .
Also du musst folgendes zeigen:
[mm] $n\to [/mm] n+1$
[mm] (f*g)^{(n+1)}=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\k}f^{(k)}g^{(n+1-k)}
[/mm]
Dafür kannst du sicher für die linke Seite die Induktionsvoraussetzung benutzen:
[mm] (f*g)^{(n+1)}=((f*g)^n)'=(\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)} g^{(n-k)})',
[/mm]
wobei der Strich natürlich bedeuten soll, dass das Ganze noch einmal abgeleitet wird. Diesen Schritt hatte ich gerade noch auf einem Schmierzettel ausprobiert, aber bisher bin ich dem Ziel nicht näher gekommen. Aber wenn man was länger drüber nachdenkt, fällt einem vielleicht etwas ein. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:06 Mo 29.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Vielen Dank! :) Tatsächlich habe ich darüber schon ziemlich lange nachgedacht und komme trotzdem auf kein Ergebnis. Und jetzt habe ich auch nur noch drei Stunden Zeit. :(
Ändert sich die Summe auf [mm] \summe_{k=1}^{n}? [/mm] Und wie leitet man [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] ab?
Gruß
Iris
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> [mm] (f\cdot{}g)^{(n+1)}=((f\cdot{}g)^n)'=(\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)} g^{(n-k)})'
[/mm]
Hallo,
nun mußt Du darüber nachdenken, was Du auf der rechten Seite stehen hast.
Es ist eine Summe von Fuktionen.
Abgeleitet werden diese also summandenweise, wie (f+g+h+k)'=f'+g'+h'+k', also
... [mm] ((f\cdot{}g)^n)'=\summe_{k=0}^{n} (\vektor{n \\ k} f^{(k)} g^{(n-k)})'
[/mm]
Als nächstes braucht man die Ableitungen von [mm] \vektor{n \\ k} f^{(k)} g^{(n-k)}. [/mm]
Dazu mußt Du Dir klarmachen, daß [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] ein konstanter Vorfaktor ist und keine Funktion. Also verändert er sich beim Ableiten nicht, wie bei [mm] (\alpha f)'=\alpha [/mm] f'.
Also hast Du nur noch das Problem
[mm] ...=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (f^{(k)} g^{(n-k)})'
[/mm]
zu bearbeiten, was Dir mit der Produktregel gelingen sollte.
Für's weitere Vorgehen vermute ich mal, daß Du die Summe in zwei Summen zerlegen mußt, eine Indexverschiebung vornehmen und unter beachtung der regeln fürs Rechnen mit Binomialkoeffizienten erneut addieren.
Gruß v. Angela
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