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| Aufgabe | Beweisen Sie mittel vollst. Induktion
a) 1³+2³+....+n³=(n²(n+1)²)/2
b) Jede Zahl a [mm] \in [/mm] N der Gestalt a=n³+5n, n [mm] \in [/mm] N ist durch 6 teilbar. |
Hi Leutz,
Ich hab Vorher noch nie was von Indukion in Mathe gehört, kann mir bitte jemand erklären wie das mit den Aufgaben gehen soll, muss die bis Donnerstag fertig haben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie mittel vollst. Induktion
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> a) 1³+2³+....+n³=(n²(n+1)²)/2
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich nehme mal an, daß die Induktion in der Vorlesung erklärt wurde.
Du kannst auch hier bei der  Induktion nachlesen, wie das geht.
Arbeite mal 1-2 Beispiele durch und versuch Dich dann an einem Beispiel.
Wenn Du nicht weiterkommst, kannst Du gern hier wieder vorstellig werden.
Das Prinzip in Kürze:
man zeigt daß die Aussge für ein bestimmtes n gilt, meist n=0 oder n=1
Unter der Voraussetzung, daß sie für n richtig ist, zeigt man die Gültigkeit für n+1.
Gruß v. Angela
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> b) Jede Zahl a [mm]\in[/mm] N der Gestalt a=n³+5n, n [mm]\in[/mm] N ist durch
> 6 teilbar.
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Bin jetzt bei der a) Aufgabe soweit gekommen, hab aber heut Abend so nen Blackout, dass ich net mehr in der Lage bin zu erkennen, ob mein Ergebniss jetzt auch richtig ist
Hab folgendes gerechnet:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k=(n²(n+1)²)/2²+(n+1)³
[/mm]
=(n²(n+1)²+4(n+1)³)/4
=((n+1)²*(4(n+1)+n²))/4
=((n+1)²(4n+4+n²))/4
=((n+1)²(n+2)²)2²
Also für mich ist das auf den ersten Blick nicht das selbe, nur ich komm auch auf kein anderes Ergebnis.
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> Bin jetzt bei der a) Aufgabe soweit gekommen, hab aber heut
> Abend so nen Blackout, dass ich net mehr in der Lage bin zu
> erkennen, ob mein Ergebniss jetzt auch richtig ist
>
> Hab folgendes gerechnet:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k=(n²(n+1)²)/2²+(n+1)³[/mm]
Hallo,
Du scheinst verstanden zu haben, wie das Prinzip funktionierst, das ist schonmal gut.
Daß Du nicht zum richtigen Ergebnis kommst, ist Folge eines kl. Flüchtigkeitsfehler, würde ich vermuten.
Wo kommen denn die [mm] 2^2 [/mm] in (n²(n+1)²)/2² her?
So kann es nicht klappen.
Übrigens kannst Du mit dem Formeleditor (untehalb des Eingabefensters) auch Bruchstriche kreieren, was die Sache übersichtlicher macht.
Gruß v. Angela
> =(n²(n+1)²+4(n+1)³)/4
> =((n+1)²*(4(n+1)+n²))/4
> =((n+1)²(4n+4+n²))/4
> =((n+1)²(n+2)²)2²
>
> Also für mich ist das auf den ersten Blick nicht das selbe,
> nur ich komm auch auf kein anderes Ergebnis.
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Sorry hatte das ² vergessen bei der 2 unterm Bruchstrich in der Aufgabenstellung
[mm] \bruch{n²(n+1)²}{2²} [/mm]
so das ist jetzt die korriegierte Formel
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> Sorry hatte das ² vergessen bei der 2 unterm Bruchstrich in
> der Aufgabenstellung
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> [mm]\bruch{n²(n+1)²}{2²}[/mm]
> so das ist jetzt die korriegierte Formel
Achso.
Dann rechne ich doch mal nach.
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k=(n²(n+1)²)/2²+(n+1)³[/mm]
> =(n²(n+1)²+4(n+1)³)/4
> =((n+1)²*(4(n+1)+n²))/4
> =((n+1)²(4n+4+n²))/4
> =((n+1)²(n+2)²)2²
Es ist alles richtig, und Du hast doch genau, was Du willst!
Ziel in diesem Schritt ist es doch, daß Du zeigst, daß die Behauptung [mm] 1³+2³+....+n³=\bruch{(n²(n+1)²)}{4} [/mm] auch für n+1 gilt,
d.h. [mm] 1³+2³+....+n³+(n+1)^2=\bruch{((n+1)²((n+1)+1)²)}{4}=\bruch{((n+1)²((n+2)²)}{4},
[/mm]
und genau an dieser Stelle bist Du ja angekommen.
Alles bestens...
Gruß v. Angela
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Hatte das ² bei der Aufgabenstellung von a) bei (n²(n+1)²)/2² vergessen.
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Juppi, danke.
Ist dann auch b) [ b) Jede Zahl a [mm] \in [/mm] N der Gestalt a=n³+5n, n [mm] \in [/mm] N ist durch 6 teilbar.] richtig wenn ich die Formel
[mm] \summe_{k=1}^{n}=\bruch{n³+5n}{6}
[/mm]
dann wie folgt rechne
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}=\bruch{n³+5n}{6}+(n+1)
[/mm]
[mm] =\bruch{n³+5n+6(n+1)}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{n³+5n+6n+6}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{n³+11n+6}{6}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Warum Summierst du? Hier geht es nicht um Summen
Es geht darum, dass die Zahl n³+5n durch 6 teilbar ist.
Marius
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Schuldige, schein wohl gad nen Flüchtigkeitsfehler mit dem Summenzeichen gemacht zu haben.
Also bin jetzt bei
[mm] a=\bruch{n³+5n}{6}
[/mm]
n=1
[mm] a=\bruch{1³+5*1}{6}=1
[/mm]
und für
n+1
[mm] a=\bruch{(n+1)³+5(n+1)}{6}
[/mm]
[mm] a=\bruch{(n+1)³+5n+5}{6}
[/mm]
komm jetzt an der Stelle aber net weitr.
Kannst du mir vielleicht nen Ansatz geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Di 16.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo ahnunglos!
Multipliziere mal im Zähler aus und versuche den Bruch für [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^3+5*n}{6}$ [/mm] abzuspalten, um die entsprechende Induktionsvoraussetzung anwenden zu können.
Was kannst Du über den Restterm sagen in Bezug auf die Teilbarkeit?
Gruß
Loddar
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was meinst du mit abspalten?
bin jetzt nach dem ausmultiplizieren bei
[mm] a=\bruch{(n+1)³+5n+5}{6}
[/mm]
[mm] a=\bruch{(n³+3n²+8n+7}{6}
[/mm]
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Hallo,
Du willst jetzt zeigen, daß [mm] n^3+5 [/mm] teilbar ist durch 6 für jedes [mm] n\in \IN,
[/mm]
d.h. es ist [mm] \bruch{n^3+5n}{6} \in \IN.
[/mm]
Ich hoffe, daß Du den Induktionsanfang gemacht hast - auch wenn er meist sehr einfach ist, ist er ganz wichtig.
Im Induktionsschluß zu zeigen ist nun unter der Voraussetzung, daß 0biges gilt, daß [mm] \bruch{(n+1)^3+5(n+1)}{6} \in \IN [/mm] richtig ist.
Du hast nun
> [mm] a=\bruch{(n+1)³+5n+5}{6}
[/mm]
> [mm] \bruch{(n³+3n²+8n+7}{6} [/mm]
Hier hast Du Dich verrechnet.
Es muß heißen
[mm] ...=\bruch{(n³+3n²+8n+6}{6}
[/mm]
= ??? nun muß man irgendwie die Induktionsvoraussetzung [mm] \bruch{n^3+5n}{6} \in \IN [/mm] ins Spiel bringen, das ist ja der Witz bei Induktion.
[mm] =\bruch{(n³+5n + 3n²+3n+6}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{n³+5n}{6} [/mm] + [mm] \bruch{3n²+3n+6}{6}
[/mm]
[mm] =\underbrace{\bruch{n³+5n}{6}}_{\in \IN} [/mm] + [mm] \bruch{n²+n}{2} [/mm] +1
(Der erste Bruch ist in [mm] \IN [/mm] nach Induktionsvoraussetzung, für den zweiten mußt Du Dir eine stichhaltige Begründung überlegen)
Gruß v. Angela
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Danke sehr.
Ja das mit der 7 ist mir kurz nachdem ichs abgeschickt habe auch aufgefallen.
Werd mir noch ne Begründung einfallen lassen, aber dann erst Morgen, für heute wars genug Algebra. Hab schon nen paar Transistoren im Kopf weniger.
Danke nochmal
Gruß Steffen
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