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| Aufgabe | Zeigen sie für die n-ten Differenzen einer Folge [mm] y_0.y_1,y_2,... [/mm] , dass
[mm] $\Delta^n y_0 [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n\choose k} y_n-k [/mm] |
Setzt man 0 ein ist die aussagen offensichtlich wahr, nur wie ich den Beweis jetzt genau führen kann ist mir noch unklar, könnte mir jemand vllt bei den ersten 1,2 schritten des Induktionsschrittes weiterhelfen?
Danke schonmal
mfg Tobias
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Hallo xxgenisxx,
ganz so simpel vielleicht doch nicht...
> Zeigen sie für die n-ten Differenzen einer Folge
> [mm]y_0.y_1,y_2,...[/mm] , dass
>
> [mm]\Delta^n y_0[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n\choose k} y_n-k[/mm]
>
> Setzt man 0 ein ist die aussagen offensichtlich wahr, nur
> wie ich den Beweis jetzt genau führen kann ist mir noch
> unklar, könnte mir jemand vllt bei den ersten 1,2
> schritten des Induktionsschrittes weiterhelfen?
1. Tipp: Pascalsches Dreieck.
2. Tipp: Fang mal rückwärts an und schreib Dir vier oder höchstens fünf allgemeine Folgenglieder auf und bilde von da aus die 1., 2., 3. etc. Differenzen.
Warum kommt da der Binomialkoeffizient ins Spiel? Woher stammt [mm] (-1)^k [/mm] ?
Dann wird auch ein Notationsproblem der Aufgabe klar. Das "-k" steht schlecht. Gehört es zur Summe oder nicht? Wenn ja, sollte noch eine große Klammer um den zu summierenden Ausdruck. Wenn nein, dann stünde es besser vor der Summe. Aber wie gesagt: eine Notationsfrage.
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:42 So 20.10.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
Ups, da hat sich ein Fehler eingeschlichen. Ich bin übrigens immernoch nicht weiter. Ich verstehe, dass dass pascalsche Dreieck die Koeffizienten liefert und der Binomialkoeffizient eben genau dies tut [mm] (-1)^k [/mm] kann eigentlich nur bedeuten, dass b im binomsichen Lehrsatz -1 gesetzt wird, das würde passen, aber der Rest ergibt sichdann immer noch nicht ;(
Hier nochmal die richtige Formel:
$ [mm] \sum_{k=0}^{n}(-1)^k*{n\choose k}*y_{n-k} [/mm] $ Irgendwie will Tex das nicht das n-k steht im Index am Ende!
Danke nochmal für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Mo 21.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ups, da hat sich ein Fehler eingeschlichen. Ich bin
> übrigens immernoch nicht weiter. Ich verstehe, dass dass
> pascalsche Dreieck die Koeffizienten liefert und der
> Binomialkoeffizient eben genau dies tut [mm](-1)^k[/mm] kann
> eigentlich nur bedeuten, dass b im binomsichen Lehrsatz -1
> gesetzt wird, das würde passen, aber der Rest ergibt
> sichdann immer noch nicht ;(
> Hier nochmal die richtige Formel:
> [mm]\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n\choose k} y_(n-k)[/mm] Irgendwie will
> Tex das nicht das n-k steht im Index am Ende!
Doch LaTeX kann das, mit _{n-k}
Du hast also [mm] $\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}\cdot{n\choose k}\cdot y_{n-k}$?
[/mm]
>
> Danke nochmal für die Hilfe!
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo xxgenisxx!
> Zeigen sie für die n-ten Differenzen einer Folge
> [mm]y_0.y_1,y_2,...[/mm] , dass
>
> [mm]\Delta^n y_0[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n\choose k} y_n-k[/mm]
Ich würde eine etwas stärkere Aussage zeigen, um eine stärkere Induktionsvoraussetzung zur Verfügung zu haben:
Behauptung:
Es gilt
[mm]\Delta^n y_l[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n\choose k} y_{l+n-k}[/mm]
für alle [mm] $l\in\IN_0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN_0$.
[/mm]
Beweis per Induktion nach $n$.
> Setzt man 0 ein ist die aussagen offensichtlich wahr, nur
> wie ich den Beweis jetzt genau führen kann ist mir noch
> unklar, könnte mir jemand vllt bei den ersten 1,2
> schritten des Induktionsschrittes weiterhelfen?
Gelte [mm]\Delta^n y_l[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n\choose k} y_{l+n-k}[/mm] für alle [mm] $l\in\IN_0$.
[/mm]
Zu zeigen ist
[mm]\Delta^{n+1} y_l[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k {n+1\choose k} y_{l+n+1-k}[/mm]
für alle [mm] $l\in\IN_0$.
[/mm]
Sei also [mm] $l\in\IN_0$.
[/mm]
Starte nun mit
[mm] $\Delta^{n+1} y_l=(\Delta^ny_{l+1})-(\Delta^ny_l)=\ldots$
[/mm]
und wende die Induktionsvoraussetzung auf die beiden [mm] $\Delta^n$ [/mm] an.
Viele Grüße
Tobias
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