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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktionsbeweis Ungleichung
Induktionsbeweis Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Induktionsbeweis Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Mo 21.11.2011
Autor: racy90

Hallo,

Ich bräuchte Hilfe bei den Induktionsbeweisen mit einer Ungleichung.Ich verstehe nicht wie man das gut abschätzt.

Ich habe zb dieses Bsp :  [mm] 3^n [/mm] ≤ 4n!

Induktionsanfang is klar

Dann kommt der Schritt [mm] 3^{n+1}≤4(n+1)! [/mm]
[mm] 3^n*3 [/mm] ≤ 4(n+1)!  und wie soll ich nun weiter machen?

Danke schon mal im voraus

        
Bezug
Induktionsbeweis Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Mo 21.11.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast:

[mm]3^{n+1}=3^{1}\cdot3^{n}\stackrel{I.V}{\leq}3\cdot4n!\ldots[/mm]

Alternativ kannst du auch "hinten beginnen"

Also:

[mm]4(n+1)!=4((n+1)\cdot n!)=(n+1)\cdot4n!\stackrel{I.V}{\geq}(n+1)\cdot3^{n}\ldots[/mm]

Marius




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Induktionsbeweis Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Mo 21.11.2011
Autor: racy90

Wie kommst du darauf [mm] 3*3^n\stackrel{I.V}{\leq}3\cdot4n!\ldots [/mm] $?

Wenn ich 4(n+1)! auflöse steht doch nicht 3*4n! dort??

Bezug
                        
Bezug
Induktionsbeweis Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Mo 21.11.2011
Autor: fred97


> Wie kommst du darauf
> [mm]3*3^n\stackrel{I.V}{\leq}3\cdot4n!\ldots[/mm] $?

Nach I.V. ist doch [mm] $3^n \le [/mm] 4*n!$.

Multiplizieren wir diese Ungl. mit 3 , so bekommen wir:

         (*)         [mm] $3^{n+1} \le [/mm] 3*4*n!$.

>  
> Wenn ich 4(n+1)! auflöse steht doch nicht 3*4n! dort??

Das hat auch kein Mensch behauptet.

Ist Dir eigentlich klar, dass die Ungl.   [mm] $3^n \le [/mm] 4*n!$ für n=1 richtig ist, für n=2 und n=3 aber nicht ?

Für n=4 stimmt sie wieder.

Also: Behauptung:  [mm] $3^n \le [/mm] 4*n!$  für n [mm] \ge [/mm] 4.

Mach also den Induktionsanfang für n=4.

I.V: es sei n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 4 und [mm] $3^n \le [/mm] 4*n!$.

Daraus und aus (*) bekommen wir:

[mm] $3^{n+1} \le [/mm] 3*4*n! [mm] \le [/mm] (n+1)*4*n!=4*(n+1)!$

FRED


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Induktionsbeweis Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Mo 21.11.2011
Autor: racy90

ich glaube  jetzt habe ich es verstanden

danke

Eine Frage hätte ich noch.Es steht noch ein Unterpunkt:Geben sie ein satz/Kriterium an ,mit welchen aus den obigen Punkt und aus [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{3^n}=3/2 [/mm] die Konvergenz von [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{4n!} [/mm] folgt

Kennen sollte ich Quotientenkriterium,Wurzelkrit,Majo/Minorantenkrit und Leibnizkrit.

Oder ist bei der Fragestellung etwas anderes gemeint?

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Induktionsbeweis Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:15 Mo 21.11.2011
Autor: angela.h.b.



> Eine Frage hätte ich noch.Es steht noch ein
> Unterpunkt:Geben sie ein satz/Kriterium an ,mit welchen aus
> den obigen Punkt und aus [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{3^n}=3/2[/mm]
> die Konvergenz von [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{4n!}[/mm] folgt

Hallo,

Du hast nun gezeigt, daß für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt

[mm] 3^n\le [/mm] 4n!  <==> [mm] \bruch{1}{3^n}\ge \bruch{1}{4n!}. [/mm]

Nun überleg mal, welches der von Dir angeführten Kriterien hier brauchbar sein könnte...

Gruß v. Angela

>  
> Kennen sollte ich
> Quotientenkriterium,Wurzelkrit,Majo/Minorantenkrit und
> Leibnizkrit.
>  
> Oder ist bei der Fragestellung etwas anderes gemeint?


Bezug
                                                
Bezug
Induktionsbeweis Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Mo 21.11.2011
Autor: racy90

ich würde am ehesten auf das Quotientenkrit tippen.Aber das ist eher nur Bauchgefühl  wegen dem Fakultätszeichen ;)

Bezug
                                                        
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Induktionsbeweis Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Mo 21.11.2011
Autor: M.Rex

Hallo

> ich würde am ehesten auf das Quotientenkrit tippen.
> Aber das ist eher nur Bauchgefühl  wegen dem Fakultätszeichen
> ;)

Wie kommt man von der Fakultät auf Brüche? Dein Bauch hat interessante Empfindungen.

Nochmal das, was Angela geschrieben hat, etwas deutlicher formuliert:
Du hast gezeigt:
$ [mm] 3^n\le4n!\Leftrightarrow\bruch{1}{3^n}\ge \bruch{1}{4n!}$ [/mm]
Was ist denn dann der Bruch [mm] \frac{1}{3^{n}} [/mm] zum Bruch [mm] \frac{1}{4n!} [/mm] ?

Marius


Bezug
                                                                
Bezug
Induktionsbeweis Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Mo 21.11.2011
Autor: racy90

mhhm okay.

Naja dann wohl eher kovergente Majorante

Hoffe das stimmt nun.

Bezug
                                                                        
Bezug
Induktionsbeweis Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Mo 21.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo racy90,


> mhhm okay.
>  
> Naja dann wohl eher kovergente Majorante

Na klar!

>  
> Hoffe das stimmt nun.

[daumenhoch]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                
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Induktionsbeweis Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 Mo 21.11.2011
Autor: racy90

Super dankeschön :)

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