Induktionsbeweis einer Ungleic < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mo 09.11.2009 | | Autor: | bero2009 |
| Aufgabe | Zeige dass die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]a_{n}=\left(1+ \bruch{1}{n}\right)^n [/mm] monoton wachsend und beschränkt ist.
Du kannst bei dem Beweis wie folgt vorgehen:
Zeige zunächst für [mm]n \ge 2[/mm] die Abschätzung:
[mm]\left(\bruch{n^2-1}{n^2}\right)^n > \bruch{n-1}{n}[/mm]
und folgere daraus [mm][mm] a_{n-1} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] [(mm] für [mm] n \ge 2[/mm] |
Hallo zusammen,
mir wurde dieses Forum von einem Freund empfohlen. Da ich als Informatikstudent öfter mal meine Probleme mit der Mathematik habe schein ich hier richtig zu sein;)
Wie oben in der Aufgabe geschrieben möchte ich zunächst die Abschätzung [mm]\left(\bruch{n^2-1}{n^2}\right)^n > \bruch{n-1}{n}[/mm] für [mm]n \ge 2[/mm] zeigen.
Ich habe dabei an Induktion gedacht. Mein Ansatz sieht bis jetzt so aus:
Induktionsanfang für n=2
Es folgt: [mm]\left(\bruch{2^2-1}{2^2}\right)^2 > \bruch{2-1}{2} = \frac{9}{16} > \frac{1}{2}.[/mm] Somit ist der Anfang korrekt.
Induktionsvoraussetzung
[mm]\left(\bruch{n^2-1}{n^2}\right)^n > \bruch{n-1}{n}[/mm] für [mm]n \ge 2[/mm]
Induktionsschritt von [mm]n-1 \Rightarrow n[/mm]
Es folgt: [mm]\left(\frac{(n-1)^2-1}{(n-1)^2}\right)^{n-1}\cdot \left(\bruch{n^2-1}{n^2}\right)^n > \bruch{n-1}{n}[/mm]
Und hier beginnt schon mein Problem.
1. Ich bin mir nicht sicher, ob meine Ungleichung für den Induktionsschritt überhaupt richtig aussieht und
2. ist mir unklar, wie ich meine Voraussetzung hier nutzen kann.
Ich habe mal für [mm]\left(\bruch{n^2-1}{n^2}\right)^n[/mm] den rechten Teil meiner Voraussetzung, also [mm]\bruch{n-1}{n}[/mm] eingesetzt. Das Ganze habe ich dann ausmultipliziert. Aber mir ist absolut nicht klar, ob das überhauot Sinn machen würde!? Also im Prinzip ist mir nicht klar, wie ich mir meine Induktionsvoraussetzung zu nutze machen kann.
Ich hoffe ihr könnte mir da weiterhelfen.
Gruß, Benni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 09.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. sollte da nicht stehen :t $ [mm] \left(\bruch{n^2-1}{n^2}\right)^n [/mm] > [mm] (\bruch{n-1}{n})^n [/mm] $
versuchs mal mit [mm] \left(\bruch{n^2-1}{n^2}\right)^n =(\bruch{n+1}{n})^n*(\bruch{n-1}{n})^n [/mm] und ohne Induktion.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 10.11.2009 | | Autor: | bero2009 |
Ok, Danke für den Tipp. ich habe jetzt mal folgendes versucht:
Die Ungleichung schreibe ich um und erhalte:
[mm](\frac{n^2-1}{n^2})^n = (\frac{n-1}{n})^n \cdot (\frac{n+1}{n})^n > (\frac{n-1}{n})^n > \frac{n-1}{n}[/mm]
Damit die Ungleichung erfüllt ist bleibt zu zeigen, dass gilt:
[mm](\frac{n+1}{n})^n \geq 1[/mm]
Grenzwertbestimmung:
[mm]
\limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{n+1}{n})^n = \limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{n \cdot(1+ \frac{1}{n})}{n})^n= \limes_{n\rightarrow\infty}(1+ \frac{1}{n})^n = \limes_{n\rightarrow\infty} 1^n = 1
[/mm]
Somit gilt die obige Ungleichung und damit auch die zu zeigende Abschätzung.
Nun folgern wir [mm]a_{n-1} < a_{n}[/mm] also
[mm]
(1+ \frac{1}{n})^n > (1+ \frac{1}{n-1})^{n-1}
[/mm]
Und da hänge ich gerade wieder. Ich kann das Folgenglied [mm] a_{n} [/mm] umschreiben und erhalte:[mm](1+ \frac{1}{n})^n =(\frac{n+1}{n})^n[/mm]
Nur welche Erkenntnisse, die ich über meine Abschätzung erhalten habe, helfen mir jetzt bei der Folgerung?
Die Tatsache, dass mein [mm] a_{n} [/mm] Folgenglied gegen 1 konvergiert oder dass es größer / kleiner etwas anderem ist? Ich komm nicht weiter. Habt ihr noch einen Tipp für mich, wie es weiter gehen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 10.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ok, Danke für den Tipp. ich habe jetzt mal folgendes
> versucht:
>
> Die Ungleichung schreibe ich um und erhalte:
> [mm](\frac{n^2-1}{n^2})^n = (\frac{n-1}{n})^n \cdot (\frac{n+1}{n})^n > (\frac{n-1}{n})^n > \frac{n-1}{n}[/mm]
noch mal die Frage sollst du wirklich [mm] \frac{n-1}{n} [/mm] beweisen? dann ist die Kette falsch. [mm] \frac{n-1}{n}=1-1/n<1
[/mm]
und ne Zahl kleiner 1 wird durch potenzieren nicht grösser sondern kleiner.
>
> Damit die Ungleichung erfüllt ist bleibt zu zeigen, dass
> gilt:
> [mm](\frac{n+1}{n})^n \geq 1[/mm]
> Grenzwertbestimmung:
Wenn der GW=1 ist können alle anderen Zahlen doch <1 sein. Bsp: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-1/n)=1 [/mm] aber alle endlichen Folgegleider <1!
warum nicht einfach [mm] \frac{n+1}{n}=1+1/n>1 [/mm] damit auch alle potenzen>1
> [mm]
\limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{n+1}{n})^n = \limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{n \cdot(1+ \frac{1}{n})}{n})^n= \limes_{n\rightarrow\infty}(1+ \frac{1}{n})^n = \limes_{n\rightarrow\infty} 1^n = 1
[/mm]
>
> Somit gilt die obige Ungleichung und damit auch die zu
> zeigende Abschätzung.
Nun hast du 2 Folgen [mm] a_n=(1+1/n)^n [/mm] und [mm] b_n=(1-1/n)^n
[/mm]
und ihr Produkt.
an>1 bn<1 an*bn?
daraus musst du was machen.
Gruss leduart
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