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| Aufgabe | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
(c) Für n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/(n+k) > 13/24 . |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, tut mir wirklich Leid, dass das so viele Aufgaben sind, aber ich bin erst seit kurzem an der Uni und wirklich überfordert, und meine Prüfungszulassung hängt von diesen Aufgaben ab.
Meine Ansätze sind auf den folgendem Bild zu sehen, wobei bei den ersten 2 Aufgaben die untere grenze bei mir als j=0 dasteht und k als n, bei der letzten Aufgabe ist k=1 die untere Grenze und n die Variable.
Ich bitte um ausführlich erklärende Hilfe!
http://i42.tinypic.com/sxzork.jpg
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> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
> (c) Für n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]\summe_{i=1}^{n}1/(n+k) > 13/24[/mm] . ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da hast du etwas falsch geschrieben. Der Summations-
index i taucht innerhalb der Summanden gar nicht auf !
Im angehängten Bild sieht man dann, dass k die
Summationsvariable sein sollte.
Auf diesem Bild sehe ich aber zu dieser Aufgabe nur die
Verankerung; der Rest ist abgeschnitten.
Ferner verwendest du auf diesem Blatt für die
Aufgabenstellungen jeweils die Formulierung:
"Für [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] .... sei ....." , wobei dann
die zu beweisende Aussage folgt. Da hast du das
sonst nicht mehr häufig gebrauchte Wort "sei"
offensichtlich falsch verstanden. In mathematischem
Zusammenhang spricht man so von einer Voraussetzung,
nicht von einer zu beweisenden Aussage.
> Meine Ansätze sind auf den folgendem Bild zu sehen, wobei
> bei den ersten 2 Aufgaben die untere grenze bei mir als j=0
> dasteht und k als n, bei der letzten Aufgabe ist k=1 die
> untere Grenze und n die Variable.
>
> Ich bitte um ausführlich erklärende Hilfe!
>
> http://i42.tinypic.com/sxzork.jpg
Gib doch bitte deinen Beweis vollständig an, und
zwar nicht als Bildanhang, sondern hier, mittels
Formeleditor dargestellt.
LG , Al-Chw.
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Entschuldige bitte.
also die aufgabe lautet
Beweisen Sie die folgende Aussage mit vollständiger Induktion.
Für n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1/n+k > 13/24
Was ich bisher habe ist nur
IA: mit n=2 [mm] \summe_{k=1}^{2} [/mm] 1/n+k = 1/1+1 + 1/2+1 = (3+2)/6 > 13/24
IS: mit (n+1) [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] 1/(n+k) = 1/((n+1)+k)
und hier komme ich schon nicht mehr weiter!
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Hallo barischtoteles,
ich würde ohne Induktion vorgehen, einfach weil das Induktionsgetöse hier überhaupt nichts austrägt.
Der wesentliche Schritt ist der gleiche wie der im ggf. durchzuführenden Induktionsbeweis. Dazu weiter unten.
> Entschuldige bitte.
>
> also die aufgabe lautet
> Beweisen Sie die folgende Aussage mit vollständiger
> Induktion.
>
> Für n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1/n+k >
> 13/24
>
> Was ich bisher habe ist nur
>
> IA: mit n=2 [mm]\summe_{k=1}^{2}[/mm] 1/n+k = 1/1+1 + 1/2+1 =
> (3+2)/6 > 13/24
Diese Notation ist unglücklich und schlecht lesbar. Verwende doch bitte die Formeleingabe. Wenn Du in Deinem Profil "Beta-Tests" aktivierst, bekommst Du sogar einen ganz guten Formeleditor für die Eingabe.
Ansonsten stehen die nötigen LaTeX-Hinweise unter dem Eingabefenster, wenn Du Betatests nicht aktiviert hast.
Schon die Summe ist so ja nicht korrekt. Da gehört dann eine Klammer um den Nenner: 1/(n+k). So auch in vielen Programmiersprachen, die bis heute diese unleserliche Eingabe voraussetzen.
> IS: mit (n+1) [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] 1/(n+k) = 1/((n+1)+k)
>
> und hier komme ich schon nicht mehr weiter!
Kein Wunder, das stimmt ja auch nicht. Im Induktionsschritt ist doch zu zeigen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\blue{(n+1)}+k}>\bruch{13}{24}
[/mm]
Am "schönsten" wärs ja, wenn man nur zeigen müsste, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(n+1)+k}\ge\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k}
[/mm]
ist. Wenn das stimmt, kann man sich eben die Induktion sparen!
Wir definieren einfach eine Folge [mm] a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k} [/mm] und zeigen, dass sie monoton wachsend ist.
Nun ist hier die Summenschreibweise ein bisschen unpraktisch und nicht unmittelbar einsichtig.
Mit einer rekursiven Darstellung wird es leichter gehen.
Was wird hier eigentlich summiert?
Für n=2: [mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}, [/mm] für n=3: [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}, [/mm] für n=4: [mm] \bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}
[/mm]
Die Summationen überschneiden sich. Für das jeweils nächstgrößere n fällt in der Summe "vorne" ein Summand weg, "hinten" kommen zwei dazu. Allgemein:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{n+1+k}=\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k}\right)-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}
[/mm]
Da haben wir unsere Rekursionsformel:
[mm] a_{n+1}=a_n-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}
[/mm]
...und jetzt ist die Monotonie so leicht zu zeigen wie z.B. [mm] 3n+1\ge{0}.
[/mm]
Los gehts.
Grüße
reverend
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