Induktionsbeweise < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Do 01.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Aufgabe 4 Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
a) Sei [mm] p\in \IN; p\ge3 [/mm] dann gilt: [mm] (\forall n\in \IN [/mm] : [mm] p^n [/mm] > n²)
b) Für alle natürlichen Zahlen n ist [mm] 11^{n+1} [/mm] + [mm] 12^{2n-1} [/mm] durch 133 teilbar. |
Diese Frage habe ich noch in keinem anderen Forum gestellt.
zu a)
p=3,4,5,6,7,8,9.....,n
ist das n in meiner angabe, das gleiche n wie in der Frage oben?
hier zählt die null ja wieder nicht zu den natürlichen Zahlen, da es eine Mengenangabe ist oder?
kann ich da auch so rangehen, dass ich erst prüfe ob n=1 wahr ist und dann für n setzte ich dann n+1 ein?
b)
n=1
[mm] 11^{2} [/mm] = 121
[mm] 12^{2*1}-1=12
[/mm]
121+12= 133
133/133=1
für n=1 ist es wahr!
dann setzte ich für n, n+1 ein
[mm] 11^{(n+1)+1} [/mm] + [mm] 12^{2(n+1)-1}
[/mm]
[mm] 11^{n+2} [/mm] + [mm] 12^{2n+1}
[/mm]
so mhhh jetzt weis ich nicht mehr weiter!
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Hallo,
versetze bitte zunächst Dein Post in einen Zustand, in welchem man es auf einen Blick lesen und verstehen kann.
Exponenten bekommst Du, indem Du ^ verwendest und direkt anschließend den gewünschten Exponenten in geschweiften Klammern.
All das findest Du recht bequem und so verständlich, daß selbst ich es begreifen konnte, bei den Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters.
Durch Anklicken von "eigenen Artikel bearbeiten" (oder so ähnlich) bekommst Du die Möglichkeit, Deinen eigenen Artikel zu bearbeiten. wenn Du ihnaufgerufen hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Do 01.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
das habe ich immer gesucht und nicht gefunden!
danke, dass du mir das gesagt hast. das macht vieles einfacher!
Gruß, Toni
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> Aufgabe 4 Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
> a) Sei [mm]p\in \IN; p\ge3[/mm] dann gilt: [mm](\forall n\in \IN[/mm] : [mm]p^n[/mm]
> > n²)
> b) Für alle natürlichen Zahlen n ist [mm]11^{n+1}[/mm] + [mm]12^{2n-1}[/mm]
> durch 133 teilbar.
> Diese Frage habe ich noch in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> zu a)
>
> p=3,4,5,6,7,8,9.....,n
>
> ist das n in meiner angabe, das gleiche n wie in der Frage
> oben?
Hallo,
nein keinesfalls, das sind zwei völlig verschiedene Dinge.
Statt, daß Du zeigst : für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt
[mm] 3^n>n^2 [/mm] und [mm] 4^n>n^2 [/mm] und [mm] 5^n>n^2 [/mm] und [mm] 6^n>n^2 [/mm] und ... , womit Du Dein Lebtag nicht fertig würdest,
sagst Du
Sei [mm] p\ge [/mm] 3. Dann gilt [mm] p^n>n^2 [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] , und zeigst dies durch Induktion über n.
>
> hier zählt die null ja wieder nicht zu den natürlichen
> Zahlen, da es eine Mengenangabe ist oder?
Keine Ahnung, wie Ihr das mit der Null handhabt. Es ist hier egal, der Induktionsanfang stimmt ja für 0 und für 1, Du kannst also ruhig bei 0 beginnen.
Wenn Du den Ind. anfang hast, setzt Du voraus, daß die Aussage [mm] p^n>n^2 [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] wahr ist, und zeigst, daß sie unter dieser Voraussetzung auch für n+1 stimmt, daß also gilt [mm] p^{n+1}> (n+1)^2.
[/mm]
>
> kann ich da auch so rangehen, dass ich erst prüfe ob n=1
> wahr ist und dann für n setzte ich dann n+1 ein?
>
> b)
>
> n=1
>
> [mm]11^{2}[/mm] = 121
> [mm]12^{2*1}-1=12[/mm]
>
> 121+12= 133
>
> 133/133=1
>
> für n=1 ist es wahr!
>
> dann setzte ich für n, n+1 ein
>
> [mm]11^{(n+1)+1}[/mm] + [mm]12^{2(n+1)-1}[/mm]
>
> [mm]11^{n+2}[/mm] + [mm]12^{2n+1}[/mm]
>
> so mhhh jetzt weis ich nicht mehr weiter!
[mm] =11*11^{n+1} [/mm] + [mm] 144*12^{2n-1}=11*11^{n+1} [/mm] + [mm] 11*12^{2n-1} [/mm] + [mm] 133*12^{2n-1}=
[/mm]
Nun kannst Du recht bald die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 01.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
wie fange ich denn hier den Induktionsanfang an?
setzte ich p=3
und n=1?
> Wenn Du den Ind. anfang hast, setzt Du voraus, daß die
> Aussage [mm]p^n>n^2[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm] wahr ist, und zeigst, daß
> sie unter dieser Voraussetzung auch für n+1 stimmt, daß
> also gilt [mm]p^{n+1}> (n+1)^2.[/mm]
gut, das ist mir klar
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> > b)
> >
> > n=1
> >
> > [mm]11^{2}[/mm] = 121
> > [mm]12^{2*1-1}=12[/mm]
hier war die klammer falsch gesetzt!
> >
> > 121+12= 133
> >
> > 133/133=1
> >
> > für n=1 ist es wahr!
diesen schritt, kann ich doch erstmal als Induktionsanfang so hinschreiben.
> >
> > dann setzte ich für n, n+1 ein
> >
> > [mm]11^{(n+1)+1}[/mm] + [mm]12^{2(n+1)-1}[/mm]
> >
> > [mm]11^{n+2}[/mm] + [mm]12^{2n+1}[/mm]
ist das jetzt richtig oder falsch?
> >
> > so mhhh jetzt weis ich nicht mehr weiter!
>
> [mm]=11*11^{n+1}[/mm] + [mm]144*12^{2n-1}=11*11^{n+1}[/mm] + [mm]11*12^{2n-1}[/mm] +
> [mm]133*12^{2n-1}=[/mm]
woher nimmst du denn die 11 am anfang? dann die 144 dann wieder die 11 und die 133?
hat das irgendein sinn, dass ich oben statt n, n+1 eingesetzt habe? ich sehe das nicht in deiner gleichung
meine frage beziehtsch auf zwei verschiedene aufgaben. vielleicht hast du da was vermischt?
>
> Nun kannst Du recht bald die Induktionsvoraussetzung ins
> Spiel bringen.
die voraussetztung ist doch, wenn die gleichung für n und für n+1 gilt ist sie wahr oder?
>
> Gruß v. Angela
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Hallo,
grundsätzlich ist es wohl sinnvoll, wenn Du Dich zunächst noch einmal mit dem Prinzip der vollständigen  Induktion befaßt,
weil ich den Eindruck habe, daß das vielleicht doch nicht so hundertprozentig klar ist, wie's funktioniert.
> wie fange ich denn hier den Induktionsanfang an?
> setzte ich p=3
> und n=1?
Nein. Dein p ist zwar beliebig, aber fest.
Du mußt nachweisen, daß [mm] p^1>1^2 [/mm] ist.
>
> > Wenn Du den Ind. anfang hast, setzt Du voraus, daß die
> > Aussage [mm]p^n>n^2[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm] wahr ist, und zeigst, daß
> > sie unter dieser Voraussetzung auch für n+1 stimmt, daß
> > also gilt [mm]p^{n+1}> (n+1)^2.[/mm]
>
> gut, das ist mir klar
> ----------------------------------------------------
>
> > > b)
> > >
> > > n=1
> > >
> > > [mm]11^{2}[/mm] = 121
> > > [mm]12^{2*1-1}=12[/mm]
>
> hier war die klammer falsch gesetzt!
Das war mir klar.
>
> > >
> > > 121+12= 133
> > >
> > > 133/133=1
> > >
> > > für n=1 ist es wahr!
>
> diesen schritt, kann ich doch erstmal als Induktionsanfang
> so hinschreiben.
Ja sicher.
>
>
> > >
> > > dann setzte ich für n, n+1 ein
> > >
> > > [mm]11^{(n+1)+1}[/mm] + [mm]12^{2(n+1)-1}[/mm]
> > >
> > > [mm]11^{n+2}[/mm] + [mm]12^{2n+1}[/mm]
>
> ist das jetzt richtig oder falsch?
Zunächst mal ist das nur ein Term, so daß sich die Frage nach richtig oder falsch kaum beantworten läßt.
Richtig ist, daß Du zeigen mußt, daß dieser Term von 133 geteilt wird.
>
> > >
> > > so mhhh jetzt weis ich nicht mehr weiter!
> >
> > [mm]=11*11^{n+1}[/mm] + [mm]144*12^{2n-1}=11*11^{n+1}[/mm] + [mm]11*12^{2n-1}[/mm] +
> > [mm]133*12^{2n-1}=[/mm]
>
> woher nimmst du denn die 11 am anfang? dann die 144 dann
> wieder die 11 und die 133?
Kennst Du die Potenzgesetze: [mm] a^{x+y}=a^x*a^y. [/mm] Da kommen die 11 und die 144 her.
Und 144 Äpfel sind 11 Äpfel + 133 Äpfel, so sind die 11 und die 133 entstanden.
>
> hat das irgendein sinn, dass ich oben statt n, n+1
> eingesetzt habe?
Ja, weil Du eine Induktion machen willst.
Ich habe Deinen Term dann so umgeformt, daß Du die Induktionsvoraussetzung einsetzen kannst. Das ist ja der Witz bei Induktion.
> ich sehe das nicht in deiner gleichung
>
> meine frage beziehtsch auf zwei verschiedene aufgaben.
> vielleicht hast du da was vermischt?
Nein, ich habe das gut verstanden.
>
> >
> > Nun kannst Du recht bald die Induktionsvoraussetzung ins
> > Spiel bringen.
>
> die voraussetztung ist doch, wenn die gleichung für n und
> für n+1 gilt ist sie wahr oder?
Nein, die Induktionsvoraussetzung ist, daß man annimmt, daß die zu beweisende Aussage für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Do 01.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
Danke für das Dokument.
da steht sogar meine Aufgabe drin.
Das hilft mir aber nicht weiter wenn ich die Lösung habe, ich möchte das ja verstehen.
Also bei dieser Induktion ist mir der Induktionsanfang klar. dann habe ich ja auch schon den Term erstellt, der im Dokument zu sehen ist.
nun gilt es also zu zeigen, dass dieser Term durch 133 teilbar ist.
bis dahin alles klar.
also auf der einen seite mein Term
[mm] 11^{n+2} [/mm] + [mm] 12^{2n+1} [/mm] =
so muss ich dann die 133 in diesem fall in der anderen seite mit einbeziehen?
mir ist immer noch nicht klar woher ich einfach die 11 und 144 her nehme.
kannst du mir das mal bitte genauer aufschreiben?
gibt es dazu eine allgemeine gleichung?
Gruß, Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Do 01.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Eine allgemeine "Formel" gibt es hier nicht. Aber man sollte stets versuchen, eine bekannte Form zu erreichen durch die Umformungen und dass man die Induktionsvoraussetzung (hier: [mm] $11^{n+1}+12^{2n-1} [/mm] \ [mm] \text{ist Vielfaches von 133}$ [/mm] ) einsetzen kann.
[mm] $$11^{n+2}+12^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] 11^{n+1+1}+12^{2n-1+2} [/mm] \ = \ [mm] 11^{n+1}*11^1+12^{2n-1}*12^2 [/mm] \ = \ [mm] 11*11^{n+1}+144*12^{2n-1} [/mm] \ = \ [mm] 11*11^{n+1}+(133+11)*12^{2n-1} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
danke, dass du mir das mal so aufgeschrieben hast.
jetzt sehe ich auch wo da das Potenzgesetz angewendet wurde!
Gruß, Toni
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
Also ich habe jetzt den Induktionsanfang und bin beim 1. Induktionsschritt:
p [mm] \ge [/mm] 3 ; p [mm] \in \IN [/mm] ; n [mm] \in \IN [/mm]
n=1
[mm] p^{1}\ge1²
[/mm]
wahre Aussage!
[mm] n\to [/mm] (n+1)
[mm] =p^{n+1} \ge (n+1)²=p^{n+1} \ge [/mm] n²+2n+1
auf der rechten seite steht eine quadratische gleichung.
umstellen nach n bringt nichts, da dann wurzel aus einer negativen zahl gezogen werden muss.
[mm] =p^{n+1} \ge (n+1)²==p^{n+1} \ge [/mm] (n+1)(n+1)
wie gehts jetzt weiter?
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> Also ich habe jetzt den Induktionsanfang und bin beim 1.
> Induktionsschritt:
>
> p [mm]\ge[/mm] 3 ; p [mm]\in \IN[/mm] ; n [mm]\in \IN[/mm]
>
> n=1
> [mm]p^{1}\ge1²[/mm]
>
> wahre Aussage!
Hallo,
mit obigem hast Du Deinen Induktionsanfang.
Nun schreibt man am besten noch einmal die Induktionsvoraussetzung auf.
Induktionsvoraussetzung: es gelte [mm] p^n>n^2 [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Es folgt der Induktionsschluß
> [mm]n\to[/mm] (n+1):
Hier ist zu zeigen: unter obiger Induktionsvoraussetzung folg die Gultigkeit der Aussage für n+1.
Das bedeutet: unter obiger Voraussetzung ist zu zeigen, daß [mm] p^{n+1}=(n+1)^2 [/mm] richtig ist.
____
Kurze Unterbrechung: daß ich so viel schreibe, bevor ich losrechne, ist nicht Ausdruck von Langeweile.
Man muß sich immer im Klaren drüber sein, was man gerade tut und zu tun gedenkt.
Bei dem was Du schreibst, sieht man, daß Du nicht gründlich unterscheidest zwischen dem, was vorausgesetzt ist, und was gezeigt werden soll. Das ist aber sehr wichtig.
Wenn Du es aufschreibst, kannst Du Dich nicht so leicht selbst beschummeln.
_____
> [mm]=p^{n+1} \ge (n+1)²=p^{n+1} \ge[/mm] n²+2n+1
Daß [mm] (n+1)²=p^{n+1} [/mm] ist, ist ja der totale Quatsch.
Streichen wir das, hast Du nun die zu zeigende Behauptung dastehen, s.o.
Nun kann der Beweis der Aussage beginnen:
Es ist
[mm] p^{n+1} [/mm] = Man muß bei Induktion immer versuchen, auf die Voraussetzung zuzusteuern. Das mache ich nun.
[mm] =p*p^n [/mm] > ... Nun kannst Du bereits die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen.
Bedenke anschließend, daß p>3 vorausgesetzt it und steuere streng auf die zu beweisende Aussage zu.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
ich wollte nicht darstellen, dass [mm] p^{n+1}=(n+1)²
[/mm]
ich hab den hinteren teil umgeformt. dann hätte ich das [mm] p^{n+1} [/mm] weg lassen sollen.
[mm] p^{n+1}=p*p^{n}
[/mm]
(n+1)²=n²+2n+1
[mm] p*p^{n} [/mm] > n²+2n+1
ich verstehe nicht wie ich da noch was umformen kann um am ende dann
[mm] p^{n}>n²
[/mm]
zu haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei Ungleichungen kannst du nicht einfach umformen!
du musst wieklich die vors benutzen! Es ist ein hoffnungsloses Unternehmen, einfach mit der unbewiesenen Formel rumzuwurschteln.
also benutz was du weisst!
[mm] p^n>n^2 [/mm] p>3
was kannst du daraus für [mm] p*p^n [/mm] schliessen ?
(nur im Hintergrund behälst du im Kopf am Ende will ich da [mm] n^2+2n+1 [/mm] stehen haben)
kannst du das was du jetzt hast mit dem was in deinem Kopf das Ziel ist in Verbindung bringen? du musst ja nicht das Ergebnis direkt haben.
wenn etwa [mm] p^{n+1}>A [/mm] ist und [mm] n^2+2n+1
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
ich kann das daraus schließen: [mm] p*p^{n} [/mm] > [mm] p^{n} [/mm] und es ist größer 0
was anderes fällt mir da nicht ein.
also praktisch
p*p{n}> ... >n²+2n+1
[mm] 3*3^{1} [/mm] = 9
1²+2*1+1= 4
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bekannt wegen Vors. ist:
[mm] p^n>n^2 [/mm] multiplizier das mal mit p!
Wenn man die Ind, Vors, nicht benutzt kann mam nie nen Induktionsbeweis führen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
[mm] p*p^{n}>p*n²
[/mm]
das bringt mich aber noch auf keine Idee.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein bissel netter mit uns umgehen als :"das bringt mich aber noch auf keine Idee."
wär schon mal eine Idee!
[mm] p*n^2 [/mm] ist mein A was ist größer [mm] 3n^2 [/mm] oder [mm] n^2+2n+1 [/mm] ?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
entschuldige, dass war nicht so gemeint.
das ist beim schreiben immer blöd. da steht der text da aber wie man es sagen würde bekommt der leser nicht mit.
naja ich hoffe du kannst mir nochmal verzeihen, ich bin ja überhaupt froh, dass mir jemand hilft!
aha ok, na da ist 3n² größer
also danke nochmal und es tut mir leid wenn ich böse geklungen habe! so wollte ich das nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das musst du noch zeigen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
Hallo
also [mm] p*p^{n} [/mm] ist dein A
doch [mm] p*p^{n}ist [/mm] doch das gleiche wie [mm] p^{n+1}
[/mm]
wie kann denn [mm] p^{n+1}> [/mm] als [mm] p*p^{n} [/mm] sein
wie zeige ich denn, dass
[mm] p*p^{n}> [/mm] n²+2n+1 ist ?
irgendwie bin ich doch wieder am anfang das [mm] p^{n+1}>(n+1)²
[/mm]
da sehe ich noch nicht durch wie ich da was beweise.
Gruß, Toni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein mein A ist [mm] p*n^2
[/mm]
[mm] p^n>n^2 [/mm] ist die Induktionsvors, d.h. sie wird als richtig angenommen!
darau folgt direkt:
[mm] p^{n+1}>p*n^2 [/mm] wegen [mm] p\ge3 [/mm] gilt also
[mm] p^{n+1}>3n^2 [/mm] bisher haben wir nur die Ind,vors benutzt!
jetzt haben wir aber ein Ziel: rechts soll nicht [mm] 3n^2 [/mm] stehen, sondern [mm] n^2+2n+1
[/mm]
deshalb kurz zu beweisen: [mm] 3n^2>n^2+2n+1 [/mm] Das überlass ich dir, muss aber sein!
dann gilt
[mm] p^{n+1}>3n^2 >n^2+2n+1
[/mm]
Jetzt hab ich deine Aufgabe gelöst, was ich eigentlich nicht wollte, und du musst nur den Minischritt selbst machen.
Ich hoff du hast gelernt: Man muss die Indvors benutzen und NICHT mit der Beh. für n+1 rummachen! (die hat man nur als Ziel im Hinterkopf)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 04.11.2007 | | Autor: | Raiden28 |
Wenn ich mich hier auch mal kurz einmischen darf.
> deshalb kurz zu beweisen: [mm]3n^2>n^2+2n+1[/mm] Das überlass ich
> dir, muss aber sein!
Aber genau das lässt sich doch nicht beweisen, da die Ungleichung für n=1 falsch ist?!
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> Wenn ich mich hier auch mal kurz einmischen darf.
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> > deshalb kurz zu beweisen: [mm]3n^2>n^2+2n+1[/mm] Das überlass ich
> > dir, muss aber sein!
>
> Aber genau das lässt sich doch nicht beweisen, da die
> Ungleichung für n=1 falsch ist?!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der Einwand ist berechtigt!
Ab n=2 stimmt's dann aber.
Wir können es so retten:
Die Aussage (ursprünglich) zu beweisende Aussage gilt für n=1, was wir gezeigt haben.
Nun machen wir eine Induktion mit Induktionsanfang bei n=2: [mm] p^2> 2^2 [/mm] für alle [mm] p\ge [/mm] 3, und zeigen per induktion die Gültigkeit für alle [mm] n\ge [/mm] 2.
Gruß v. Angela
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