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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktionsbeweise
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Induktionsbeweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Mo 03.11.2008
Autor: nina1

Aufgabe
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

a) für n [mm] \in [/mm] N \ {0,1} gilt: [mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] k * k! = (n+1)!-2

Hallo,

der Induktionsbeweis wäre ja

[mm] \summe_{k=2}^{n+1} [/mm] k*k!

und laut meiner Lösungvorgabe entspricht dies

[mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] k*k! + (n+1)* (n+1)!

Soweit eigentlich noch ok.

und dann steht da in der nächsten Zeile = (n+1)!-2+(n+1)* (n+1)! = (n+2)*(n+1)!-2=(n+2)!-2

Nur wie kommt man nun auf diese Zeile? Und woher kommt die 2? Hat sie was mit dem n=2 zu tun?


Besten Dank schon Mal.



        
Bezug
Induktionsbeweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Mo 03.11.2008
Autor: reverend

Vorab - was heißt denn: Soweit eigentlich noch ok?

Die Zeile [mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] k*k! + (n+1)* (n+1)! ist unschön geschrieben: was wird denn eigentlich summiert?
Klarer wäre [mm] (\summe_{k=2}^{n} [/mm] k*k!) + (n+1)* (n+1)!

Die Umformung geht dann wie folgt:
[mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] k*k!=(n+1)!-2 (laut Voraussetzung)

Daher
( [mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] k*k!) + (n+1)* (n+1)! = (n+1)!-2+(n+1)* (n+1)! = (n+1)!+(n+1)*(n+1)!-2
Da lässt sich aus zwei Summanden (n+1)! ausklammern...:
= (1+n+1)*(n+1)!-2=(n+2)*(n+1)!-2=(n+2)!-2

Jetzt musst Du nur noch wissen, wo Du eigentlich in Deinem Induktionsbeweis gerade steckst. Dann bist Du womöglich schon fertig. ;-)


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