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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich hab da mal einige Fragen zur Induktion und zum Suprema.
Vielleicht könnt ihr mir ja sagen, wo's hängt, wäre nett !
Bewiesen werden soll:
[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k}\vektor{n \\ k}=0
[/mm]
Ich hatte die Idee, das es wohl am besten mit vollst. Induktion zu lösen ist.
Rausgefunden habe ich schon, dass die Gleichung nur für n [mm] \ge [/mm] 1 gilt, da
n=0
[mm] \summe_{k=0}^{0} \vektor{0 \\ 0}(-1)^{0}=1 [/mm] (meine ich zumindestens)
n=1
[mm] \summe_{k=0}^{1} \vektor{1 \\ k}=(-1)^{k}=\vektor{1 \\ 0}(-1)^{0}+\vektor{1 \\ 1}(-1)^{1}=1*1+(-1)*1=1-1=0
[/mm]
So, aber nun zum Induktionsschritt :
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}(-1)^{k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}(-1)^{k}+\vektor{n \\ k-1}(-1)^{n+1}
[/mm]
Einsetzen der Induktionsvorrausetzung bringt:
0+ [mm] \vektor{n \\ k-1}(-1)^{n+1}
[/mm]
Damit das ganze stimmt müßte ja nun [mm] \vektor{n \\ k-1}(-1)^{n+1}=0 [/mm] sein !
Aber wie komme ich da auf einen grünen Zweig ?
Stimmt denn die Gleichung n+1 über k = n über k + n über k-1 nicht ?
Und dann hätte ich noch eine Frage zum Bestimmen von Suprema:
[mm] C={(1)^{n}+ \bruch{1}{n} | n \in \IZ, n \ge 1 }
[/mm]
Nur so mal zur Anschauung:
n=1: C=0
n=2: C=1,5
n=5: C=-0,8
n=10: C=1,1
Behauptung: [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ist Sup von M
Beweis:
a) Für alle n [mm] \ge [/mm] 1 gilt: [mm] (-1)^n+\bruch{1}{n}\le \bruch [/mm] {3}{2}
b) Da [mm] \bruch{3}{2} \in [/mm] C ist, ist [mm] \bruch{3}{2} [/mm] kleinste obere Schranke !
Wie beweise ich das aber mit Archimedes und aus etwas wahrem folgernd:
z.B. [mm] n>0=>\bruch{1}{n}>0=>..... [/mm] ?
Da happerts..
Gleiches Problem bei
[mm] C={\bruch{n^{2}}{1-n^{2}} | n \in \IZ, n \ge 2 }
[/mm]
Behauptung: [mm] \bruch{-4}{3} [/mm] ist Sup.
Verbesserung : Ich glaub hier stimmt eher sup=-1 oder ?
Ich möchte ja beweisen,dass es [mm] \bruch{-4}{3} -\varepsilon [/mm] keine untere Schranke ist, also muss ja:
[mm] \bruch{n^{2}}{1-n^{2}} >\bruch{-4}{3} [/mm] - [mm] \varepsilon
[/mm]
Gibts da Hoffnung für mich, oder mach ich hier alles falsch ?
Danke für eure Hilfe
Faenôl
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Hallo!
Habe heute auch schon über dieser Aufgabe gesessen und es über Induktion versucht. Bis mir dann die Idee kam, das ganz einfach zu lösen. In der Vorlesung (solltest Du wie ich auch aus HD sein) hatten wir ja bewiesen: [mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{k}b^{n-k}.
[/mm]
Daraus kann man folgendes machen:
[mm] 0=(1-1)^{n}= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}1^{n-k}(-1)^{k}=\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n \\ k}
[/mm]
Und wir hätten bewiesen, was die Aufgabe verlangte.
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