Induktive Definitionen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Qirwik |
| Aufgabe | Die Menge M der Mittelwertzahlen sei definiert als die kleinste Menge von Zahlen, so dass
1. 0 und 1 Elemente von M sind;
2. wenn x und y beliebige Elemente von M sind, dann ist auch (x+y)/2 Element von M.
Geben sie fünf verschiedene Mengen von Zahlen an, die die Bedingungen 1. und 2. erfüllen. |
Ich wäre für einen Denkanstoß bzw. Tipp dankbar.
Ich bin folgendermaßen an die Aufgabe herangegangen;
ich dachte es ist sinnvoll mit der kleinsten Menge zu beginnen - also mit M = {0,1}.
Die 1. Bedingung wäre damit erfüllt, die 2. Bedingung scheitert an einer Gleichung:
sobald x = 1 und y = 0, ist das Ergebnis aus (x+y)/2 = 0,5 und somit kein Element aus M.
Die Menge zu erweitern bringt keinen Nutzen, zumindest sehe ich keinen, da die 2. Bedingung bereits durch die atmomarsten(?) Elemente nicht erfüllt ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Fr 23.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich gebe dir mal 3 Mengen an, die die Bedingungen 1. und 2. erfüllen :
[mm] $\IR,$ \IQ, $\{x \in \IR: x \ge 0 \}$
[/mm]
So, finde Du nun 2 weitere.
FRED
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Hallo,
könnte man auch die Zahlenmengen [mm] $\IN_{0}, \IZ, \IQ, \IR, \IC$ [/mm] als Lösung angeben, denn [mm] $\mathbb{N}\in\mathbb{Z}\in\mathbb{Q}\in\mathbb{R}\in\mathbb{C}$?
[/mm]
Danke.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 25.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> könnte man auch die Zahlenmengen [mm]\IN_{0}, \IZ, \IQ, \IR, \IC[/mm]
> als Lösung angeben, denn
Nein, nicht alle.
Da 0 und 1 zwingend vorhanden sein müssen, ist auch 0,5 ein Element dieser Menge, und 0,5 ist keine natürliche Zahl.
Gruß Abakus
> [mm]\mathbb{N}\in\mathbb{Z}\in\mathbb{Q}\in\mathbb{R}\in\mathbb{C}[/mm]?
>
> Danke.
>
> Gruß
> el_grecco
>
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Danke abakus.
Somit scheiden dann [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ$ [/mm] aus.
Fünf verschiedene Zahlenmengen sind dann:
[mm] $\IQ$,$\IR$,$\IC$,$\{x \in \IR: x \ge 0 \}$,$\{x \in \IQ: x \ge 0 \}$
[/mm]
Hoffe das stimmt jetzt?
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Somit scheiden dann [mm]\IN[/mm] und [mm]\IZ[/mm] aus.
>
> Fünf verschiedene Zahlenmengen sind dann:
>
> [mm]\IQ[/mm],[mm]\IR[/mm],[mm]\IC[/mm],[mm]\{x \in \IR: x \ge 0 \}[/mm],[mm]\{x \in \IQ: x \ge 0 \}[/mm]
>
> Hoffe das stimmt jetzt?
ja, die tun's.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\mathbb{N}\in\mathbb{Z}\in\mathbb{Q}\in\mathbb{R}\in\mathbb{C}[/mm]?
Verwende hier bitte niemals wieder das Element-Zeichen [mm] "$\in$" [/mm] anstelle des Teilmenge-Zeichens [mm] "$\subseteq$"!
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 So 25.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Sorry. Das habe ich im "Eifer des Gefechts" falsch eingetippt. ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Gruß
el_grecco
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| Aufgabe | Die Menge M der "Mittelwertzahlen" sei definiert als die kleinste Menge von Zahlen, so dass
1. 0 und 1 Elemente von M sind;
2. wenn x und y beliebige Elemente von M sind, dann ist auch [mm] $\bruch{x+y}{2}$ [/mm] Element von M.
a) Geben Sie fünf verschiedene Mengen von Zahlen an, die die Bedingungen 1. und 2. erfüllen.
b) Wovon muss man sich vergewissern, damit es überhaupt zulässig ist, von der kleinsten Menge zu sprechen, die die Bedingungen erfüllt?
c) Woraus besteht die Menge M? Geben Sie eine anschauliche Begründung (keinen formalen Beweis). Nennen Sie auch einige Zahlen, die keine Mittelwertzahlen sind.
d) Formulieren Sie ein Beweisprinzip analog zur strukturellen Induktion, mit dessen Hilfe man Eigenschaften von Mittelwertzahlen nachweisen kann.
e) Zeigen Sie mit diesem Beweisprinzip, dass jede Mittelwertzahl die von Ihnen unter c) angegebene Form hat. |
Hallo,
leider komme ich auch mit der b) und c) nicht ganz klar.
Die b) würde ich so lösen:
- Es gibt eine Menge, die die Bedingungen 1-2 erfüllt, nämlich die Menge aller Zahlen, die aus den Mittelwertzahlen gebildet werden können.
- Der Durchschnitt jeder Menge von Mengen, die die Bedingungen 1-2 erfüllen, erfüllt ebenfalls diese Bedingungen. Der Durchschnitt der Menge aller Mengen, die die Bedingungen 1-2 erfüllen, ist also die kleinste Menge. Jede Menge, die die Bedingungen 1-2 erfüllt, enthält die Elemente 0 und 1, deshalb ist die kleinste Menge nicht leer.
Zur c):
Die Menge M enthält stets die Elemente 0 und 1, sowie stets zwei beliebige Elemente x und y und dann zusätzlich ein Element, das aus der Hälfte des Ergebnisses aus der Addition der beiden Elemente x und y entsteht.
Folgende Zahlen verstoßen gegen die Bedingungen 1-2 und sind deshalb keine Mittelwertzahlen: [mm] $\pi$, $\wurzel{2}$
[/mm]
Passt das soweit; gibt es noch mehr Zahlen, die gegen die Bedingungen verstoßen?
Vielen Dank für Euren Support.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Mo 26.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Die Menge M der "Mittelwertzahlen" sei definiert als die
> kleinste Menge von Zahlen, so dass
> 1. 0 und 1 Elemente von M sind;
> 2. wenn x und y beliebige Elemente von M sind, dann ist
> auch [mm]\bruch{x+y}{2}[/mm] Element von M.
>
> a) Geben Sie fünf verschiedene Mengen von Zahlen an, die
> die Bedingungen 1. und 2. erfüllen.
>
> b) Wovon muss man sich vergewissern, damit es überhaupt
> zulässig ist, von der kleinsten Menge zu sprechen, die die
> Bedingungen erfüllt?
Na, sie sollte keine "überflüssogen" Elemente enthalten. Es ist nicht erforderlich, dass Zahlen >1 oder <0 mit aufgenommen werden.
Aus dem notwendigen Vorhandensein von 0 und 1 ergibt sich zwingend (1/2), das Vorhandensein dieser drei Zahlen erfordert auch 1/4 und 3/4;
deshalb müssen auch 1/8, 3/8, 5/8 und 7/8 (als jeweilige Mittelwerte schon vorhandener Elemente) dabei sein.
Kommst du ab jetzt klar?
Gruß Abakus
>
> c) Woraus besteht die Menge M? Geben Sie eine anschauliche
> Begründung (keinen formalen Beweis). Nennen Sie auch
> einige Zahlen, die keine Mittelwertzahlen sind.
>
> d) Formulieren Sie ein Beweisprinzip analog zur
> strukturellen Induktion, mit dessen Hilfe man Eigenschaften
> von Mittelwertzahlen nachweisen kann.
>
> e) Zeigen Sie mit diesem Beweisprinzip, dass jede
> Mittelwertzahl die von Ihnen unter c) angegebene Form hat.
> Hallo,
>
> leider komme ich auch mit der b) und c) nicht ganz klar.
>
> Die b) würde ich so lösen:
> - Es gibt eine Menge, die die Bedingungen 1-2 erfüllt,
> nämlich die Menge aller Zahlen, die aus den
> Mittelwertzahlen gebildet werden können.
> - Der Durchschnitt jeder Menge von Mengen, die die
> Bedingungen 1-2 erfüllen, erfüllt ebenfalls diese
> Bedingungen. Der Durchschnitt der Menge aller Mengen, die
> die Bedingungen 1-2 erfüllen, ist also die kleinste Menge.
> Jede Menge, die die Bedingungen 1-2 erfüllt, enthält die
> Elemente 0 und 1, deshalb ist die kleinste Menge nicht
> leer.
>
> Zur c):
> Die Menge M enthält stets die Elemente 0 und 1, sowie
> stets zwei beliebige Elemente x und y und dann zusätzlich
> ein Element, das aus der Hälfte des Ergebnisses aus der
> Addition der beiden Elemente x und y entsteht.
> Folgende Zahlen verstoßen gegen die Bedingungen 1-2 und
> sind deshalb keine Mittelwertzahlen: [mm]\pi[/mm], [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> Passt das soweit; gibt es noch mehr Zahlen, die gegen die
> Bedingungen verstoßen?
>
> Vielen Dank für Euren Support.
>
> Gruß
> el_grecco
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Danke, abakus.
Zur b):
Wie genau geht man da vor?
Am Anfang rechnet man [mm] $\bruch{0+1}{2}=\bruch{1}{2}$, [/mm] dann [mm] $\bruch{1+\bruch{1}{2}}{2}=\bruch{3}{4}$, [/mm] dann [mm] $\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{3}{4}}{2}=\bruch{5}{8}$, [/mm] dann [mm] $\bruch{\bruch{5}{8}+\bruch{3}{4}}{2}=\bruch{11}{16}$, [/mm] ab dem letzten Ergebnis weiche ich von Deiner Lösung ab. Warum?
Zur c):
Ich denke, die Begründung kann ich selbst geben, wenn ich die b) richtig verstanden habe.
Danke.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 26.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wie genau geht man da vor?
Induktiv ... 
> Am Anfang rechnet man [mm]\bruch{0+1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm], dann
> [mm]\bruch{1+\bruch{1}{2}}{2}=\bruch{3}{4}[/mm], dann
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}+\bruch{3}{4}}{2}=\bruch{5}{8}[/mm], dann
> [mm]\bruch{\bruch{5}{8}+\bruch{3}{4}}{2}=\bruch{11}{16}[/mm], ab dem
> letzten Ergebnis weiche ich von Deiner Lösung ab. Warum?
Weil du es nicht systematisch machst - wenn du alle Zahlen im Schritt n berechnet hast, dann erhälst du den schritt n+1, wenn du alle Kombinationen aus dem Schritt n zu lässt. Du wählst hier wild aus. Mach es mal systematisch ...
Deine Begründung warum man von "kleinster" Menge reden kann war übrigens sehr richtig - hat gar nichts mit dem zu tun, was abakus meinte "also, dass man die anderen Zahlen nicht braucht - der Punkt ist, die Eigenschaft ist Schnittstabil).
SEcki
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Danke, SEcki.
Aber irgendwie leuchtet es mir nicht ein, wie ich da systematisch vorgehen kann, sodass ich die Werte von abakus erhalte. Wäre super, wenn Du den Anfang machen könntest, sodass ich (hoffentlich) auf die Sprünge komme.
Außerdem:
- Wie weiß ich, wann ich nicht mehr weiterrechnen muss, schließlich könnte man ja "ewig" kombinieren und Werte erhalten?
- Da mir Logik-Aufgaben vollkommen neu sind, weiß ich nicht, was der Erwartungshorizont ist, sprich würde meine Begründung in Worten auch genügen, oder muss ich zusätzlich die Werte von abakus ermitteln?
- Was genau meint die Eigenschaft "schnittstabil"?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mo 26.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke, SEcki.
>
> Aber irgendwie leuchtet es mir nicht ein, wie ich da
> systematisch vorgehen kann, sodass ich die Werte von abakus
> erhalte. Wäre super, wenn Du den Anfang machen könntest,
> sodass ich (hoffentlich) auf die Sprünge komme.
>
> Außerdem:
> - Wie weiß ich, wann ich nicht mehr weiterrechnen muss,
> schließlich könnte man ja "ewig" kombinieren und Werte
> erhalten?
Hallo,
woie kommst du denn auf die Vorstellung, dass du jemals aufhören darfst?
Es ist doch ganz einfach so: wenn du zwei beliebige Brüche mit dem Nenner 4 hast (a/4 und b/4), so ist der Mittelwert davon (a+b)/8.
Auf die Weise erhälst du ALLE Brüche mit dem Nenner 8, wenn du vorher schon alle Brüche mit dem Nenner 4 hattest:
1/8 als Mittelwert von 0 und 1/4, 2/8 ist sowieso schon da (1/4), 3/8 als Mittelwert von 1/4 und 1/2, 4/8 ist schon da, 5/8 als Mittelwert von 1/2 und 3/4, usw.
Wenn du alle Brüche mit dem Nenner 8 hast, sind die Mittelwerte zwischen jeweils 0 und 1/8 eben 1/16, zwischen 1/8 und 2/8 erhältst du 3/16, zwischen 2/8 und 3/8 sind es 3/16 usw.
Zwischen den Sechsehnteln liegen die Zweiunddreißigstel usw.
DAS HÖRT NIE AUF.
Gruß Abakus
>
> - Da mir Logik-Aufgaben vollkommen neu sind, weiß ich
> nicht, was der Erwartungshorizont ist, sprich würde meine
> Begründung in Worten auch genügen, oder muss ich
> zusätzlich die Werte von abakus ermitteln?
>
> - Was genau meint die Eigenschaft "schnittstabil"?
>
> Gruß
> el_grecco
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Hallo und danke soweit an alle Helfenden,
aber diese Aufgabe beschäftigt mich leider noch immer.
Wäre diese Antwort zur Teilaufgabe c) richtig?
Die Menge M enthält stets die Elemente 0 und 1, sowie stets zwei beliebige Elemente x und y und dann zusätzlich ein Element, das aus der Hälfte des Ergebnisses aus der Addition der beiden Elemente x und y entsteht. Folgende Zahlen verstoßen gegen die Bedingungen 1-2 und sind deshalb keine Mittelwertzahlen: [mm] $\pi$, $\wurzel{2}$
[/mm]
Ich gebe zu, dass ich so meine Zweifel habe, mit der Behauptung, dass die Kreiszahl Pi und die Wurzel aus 2 nicht verwendet werden dürfen... Andererseits wüsste ich nicht, welche Zahlen hier keine Mittelwertzahlen sein sollen.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 28.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo und danke soweit an alle Helfenden,
>
> aber diese Aufgabe beschäftigt mich leider noch immer.
>
>
> Wäre diese Antwort zur Teilaufgabe c) richtig?
>
> Die Menge M enthält stets die Elemente 0 und 1, sowie
> stets zwei beliebige Elemente x und y und dann zusätzlich
> ein Element, das aus der Hälfte des Ergebnisses aus der
> Addition der beiden Elemente x und y entsteht. Folgende
> Zahlen verstoßen gegen die Bedingungen 1-2 und sind
> deshalb keine Mittelwertzahlen: [mm]\pi[/mm], [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
>
> Ich gebe zu, dass ich so meine Zweifel habe, mit der
> Behauptung, dass die Kreiszahl Pi und die Wurzel aus 2
> nicht verwendet werden dürfen... Andererseits wüsste ich
> nicht, welche Zahlen hier keine Mittelwertzahlen sein
> sollen.
Hallo,
aus der bisherigen Beschreibung müsstest du langsam mal zu dem Schluss kommem, dass ALLE Brüche im abgeschlossenen Intervall von 0 bis 1 dazugehören, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.
Also: 1/3 gehört nicht dazu, 765/1024 schon.
Die Zahlen [mm]\pi[/mm] und [mm] \wurzel{2} [/mm] gehören als zwei Gründen nicht zu M:
1) sind sie zu groß
2) sind sie irrational, also garantiert keine Brüche der Form [mm] \bruch{Zaehler}{2^n}.
[/mm]
GRuß Abakus
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
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Danke, abakus.
"Strukturelle Induktion", wie sie in der Teilaufgabe d) verlangt wird, ist für mich Neuland. Die "vollständige Induktion" ist mir soweit klar, aber die bringt mir hier leider nichts und ist auch nicht verlangt.
Gibt es vielleicht ein Schema, das vorgibt, wie die strukturelle Induktion grundsätzlich anzuwenden ist?
Ich denke, wenn ich die strukturelle Induktion in dieser Teilaufgabe begriffen habe, dann sollte ich in Zukunft keine Probleme mehr haben...
Vielen Dank nochmal.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 28.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke, abakus.
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> "Strukturelle Induktion", wie sie in der Teilaufgabe d)
> verlangt wird, ist für mich Neuland. Die "vollständige
> Induktion" ist mir soweit klar, aber die bringt mir hier
> leider nichts und ist auch nicht verlangt.
>
> Gibt es vielleicht ein Schema, das vorgibt, wie die
> strukturelle Induktion grundsätzlich anzuwenden ist?
>
> Ich denke, wenn ich die strukturelle Induktion in dieser
> Teilaufgabe begriffen habe, dann sollte ich in Zukunft
> keine Probleme mehr haben...
Ich habe den Begriff noch nie gehört und mal gegoogelt.
Jetzt sehe ich das so:
Die Startzahlen haben Zweierpotenzen im Nener:
[mm] \bruch{0}{2^0} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2^0}.
[/mm]
Die Mittelwertbildung zweier beliebiger Elemente [mm] \bruch{a}{2^n} [/mm] und [mm] \bruch{b}{2^n} [/mm] erzeugt [mm] \bruch{a+b}{2^{n+1}} [/mm] (wenn die Nenner unterschiedliche Zweierpotenzen sind, erweitert man auf gleiche Nenner [mm] 2^n.).
[/mm]
Es KANN also gar keine andere Form entstehen.
>
> Vielen Dank nochmal.
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mi 28.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> "Strukturelle Induktion", wie sie in der Teilaufgabe d)
> verlangt wird, ist für mich Neuland. Die "vollständige
> Induktion" ist mir soweit klar, aber die bringt mir hier
> leider nichts und ist auch nicht verlangt.
Strukturelle Induktion hat gewisse Aehnlichkeiten mit vollstaendiger Induktion.
Ich kenn sie hauptsaechlich aus der theoretischen Informatik, da kommt sie oefter mal vor :)
Hier mal ein Beispiel.
Ein geklammerter Ausdruck ist ein Ausdruck folgender Form:
1) entweder $A$, wobei $A$ eine Variable ist,
2) oder $Z$, wobei $Z$ eine Zahl ist,
3) oder $(P + Q)$ wobei $P$ und $Q$ geklammerte Ausdruecke sind,
4) oder $(P [mm] \cdot [/mm] Q)$, wobei $O$ und $Q$ geklammerte Ausdruecke sind.
Damit wird sozusagen rekursiv definiert, was ein geklammerter Ausdruck ist. Zum Beispiel sind $((1 + 7) [mm] \cdot [/mm] x)$ und $(((x [mm] \cdot [/mm] 1) [mm] \cdot [/mm] 2) [mm] \cdot [/mm] (3 [mm] \cdot [/mm] 4))$, geklammerte Ausdruecke, $x [mm] \cdot [/mm] (1 + 2)$ ist jedoch keiner (diesen bekommst du nicht durch endlich oftes Anwenden der Regeln 1 bis 4 aus der Definition).
Jetzt wollen wir z.B. beweisen, dass die Anzahl der oeffnenden Klammern in einem geklammerten Ausdruck gleich der Anzahl der geschlossenen Klammern ist; wir nennen diese Eigenschaft mal [mm] $\mathbb{E}$. [/mm] (Was ja recht offensichtlich ist :) )
Dazu verwendet man strukturelle Induktion: man zeigt, dass die vier Regeln aus der (rekursiven) Definition die zu zeigende Eigenschaft erfuellen / erhalten. Das geht so:
1) Ist $A$ eine Variable, so ist $A$ ein geklammerter Ausdruck mit der Eigenschaft [mm] $\mathbb{E}$.
[/mm]
2) Ist $Z$ eine Zahl, so ist $Z$ ein geklammerter Ausdruck mit der Eigenschaft [mm] $\mathbb{E}$.
[/mm]
3) Sind $P$ und $Q$ geklammerte Ausdruecke mit der Eigenschaft [mm] $\mathbb{E}$, [/mm] so erfuellt $(P + Q)$ ebenfalls die Eigenschaft [mm] $\mathbb{E}$ [/mm] (hier etwas Argumentation einfuegen  ).
4) Sind $P$ und $Q$ geklammerte Ausdruecke mit der Eigenschaft [mm] $\mathbb{E}$, [/mm] so erfuellt $(P [mm] \cdot [/mm] Q)$ ebenfalls die Eigenschaft [mm] $\mathbb{E}$ [/mm] (hier etwas Argumentation einfuegen ).
Hier sind 1) und 2) sozusagen die "Induktionsanfaenge" (da Zahlen und Variablen die "Grundbausteine" sind, aus denen geklammerte Ausdruecke zusammengesetzt werden), und 3) und 4) sind "Induktionsschritte".
Bei dir ist sozusagen 1. der "Induktionsanfang": 0 und 1 sind Mittelwertzahlen.
Und 2. ist bei dir sozusagen der "Induktionsschritt": aus zwei Mittelwertzahlen $a$ und $b$ kannst du eine Mittelwertzahl [mm] $\frac{a + b}{2}$ [/mm] machen.
Du musst also zeigen:
* 0 und 1 haben die gewuenschte Form;
* wenn $a$ und $b$ die gewuenschte Form haben, dann hat auch [mm] $\frac{a + b}{2}$ [/mm] die gewuenschte Form.
>
> Gibt es vielleicht ein Schema, das vorgibt, wie die
> strukturelle Induktion grundsätzlich anzuwenden ist?
>
> Ich denke, wenn ich die strukturelle Induktion in dieser
> Teilaufgabe begriffen habe, dann sollte ich in Zukunft
> keine Probleme mehr haben...
>
> Vielen Dank nochmal.
>
> Gruß
> el_grecco
>
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Vielen Dank, abakus und Felix,
kann mir bitte jemand verraten, was jetzt der Unterschied zwischen Teilaufgabe d) und e) ist?
Für mich wird hier nämlich so ziemlich das Gleiche verlangt. Wahrscheinlich täusche ich mich...
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Do 29.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> kann mir bitte jemand verraten, was jetzt der Unterschied
> zwischen Teilaufgabe d) und e) ist?
>
> Für mich wird hier nämlich so ziemlich das Gleiche
> verlangt. Wahrscheinlich täusche ich mich...
Bei d) sollst du ganz allgemein erklaeren, wie du Eigenschaften nachweisen kannst.
Bei e) sollst du so einen Beweis fuer eine bestimmte Eigenschaft durchfuehren.
LG Felix
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