Infimum = - Supremum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Do 02.11.2006 | | Autor: | sansunny |
| Aufgabe | | Zeigen sie das eine Menge M genau dann nach oben beschränkt ist, wenn -M nach unten beschränkt ist. |
Huhu,
ich habe da so mein Problem mit dem zeigen.
Könnte mir da wer einen Tipp geben, bzw. sagen ob meine Idee richtig ist.
(Wiederspruchsbeweis)
Wenn x nun nicht die kleine obere schranke ist, müsste es ein y>x geben das auch element der Menge ist und außerdem das Supremum ist.
- d.h. das aber - y nun auch das infomum von - M sein müsste, mit -y<-x
ist aber nicht möglich da -x das Infimum ist.
d.h. wiederspruch.
-> inf (-M) = -sup(M)
Kann ich das einfach zu schreiben??
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Hallo,
mal ganz langsam und vorsichtig!
In der Aufgabe haben wir ein Menge M, eine Menge -M, und ich lese von "nach oben beschränkt" und "nach unten beschränkt".
Kein Wörtchen vom Supremum und Infimum!
Zu zeigen ist ja:
M nach oben beschränkt <==> -M nach unten beschränkt.
Ich vermute, daß Dir der Unterschied zwischen einer oberen Schranke und dem Supremum nicht klar ist.
Laß uns also den Beweis zurückstellen und zunächst über "Supremum" reden.
Möchte man das tun, muß man einen Schrit zurückgehen und sich mit dem Begriff "obere Schranke" befassen.
Zunächst die Definition:
Eine Teilmenge A von $ [mm] \IR [/mm] $ heißt nach oben beschränkt, wenn es ein S $ [mm] \in \IR [/mm] $ gibt mit $ [mm] a\le [/mm] $ S für alle $ [mm] a\in [/mm] $ A.
S heißt eine obere Schranke von A.
Im Worten: A ist beschränkt, wenn man eine Zahl S findet, so daß alle Elemente von A kleiner sind als S.
Die "obere Schranke" ist eben eine obere Schranke. Das kannst Du Dir vorstellen, oder?
Wenn Dir klar ist, was eine obere Schranke ist, sollte Dir auch klar sein, daß eine Menge mehrere obere Schranken haben kann.
Ist es Dir klar? Ja? Dann sag ein Beispiel für eine Menge, und gib verschiedene obere Schranken an.
Fallen Dir auch Teilmengen von $ [mm] \IR [/mm] $ ein ohne obere Schranke, also nach oben nicht beschränkte? Sag mal zwei!
Weiterzulesen brauchst Du erst, wenn Dir bis hier alles klar ist.
Jetzt kommt's Supremum...
Wie ist das definiert?
Sei $ [mm] A\subseteq \IR. [/mm] $
Ein K $ [mm] \in \IR [/mm] $ heißt Supremum von A, wenn K die kleinste obere Schranke von A ist.
"K ist Supremum" beinhaltet also zweierlei: i) K ist eine obere Schranke von A.
und ii) von allen oberen Schranken ist K die kleinste.
Den Sachverhalt ii) kann man auch so ausdrücken (und muß ihn oft in dieser Form verwenden):
wenn K das Supremum ist, und K' eine weitere obere Schranke,
so ist K'>K.
Da steckt kein Geheimnis hinter. Wenn K die kleinste obere Schranke ist, muß K' - sofern es auch eine obere Schranke ist - größer sein als K.
Kapiert?
Dann verstehtst Du auch das nächste:
Mal angenommen, K ist das Supremum von A, und Du findest ein K'' mit K''< K. Dann kann K'' nicht das Supremum von A sein.
Klar???
Wenn Du alles bis hierher verstanden hast, kannst Du Dir völlig analog zu dem, was ich über obere Schranke und Supremum geschrieben habe, klarmachen, was es mit unterer Schranke und Infimum auf sich hat.
Zum Beweis zunächst nur so viel:
Natürlich haben Beispiele keinerlei Beweiskraft.
Trotzdem kann man an ihnen so viel verstehen.
Solche Aufgaben wie
"M nach oben beschränkt ==> -M nach unten beschränkt"
gehe ich so an, daß ich mir erstmal ein Beispiel aufschreibe oder -male.
Such Dir eine übersichtliche, nach oben beschränkte Teilmenge von $ [mm] \IR, [/mm] $ welche Du M nennst mit einer oberen Schranke S. Es muß nicht die kleinste obere Schranke sein.
Jetzt überlege Dir, welche Elemente überhaupt in -M liegen.
Nun kommt der Test: ist -S eine untere Schranke von -M?
Jetzt kannst Du zu beweisen anfangen.
Sei M eine nach oben beschränkte Teilmenge von
$ [mm] \IR [/mm] $ und sei -M := $ [mm] \{-x|x \in \ M\}. [/mm] $
Weil M n.o. beschränkt, gibt es ein S mit $ [mm] S\ge [/mm] $ x für alle x $ [mm] \in [/mm] $ M
==> -S $ [mm] \le [/mm] $ ...
==> ...
==> ... ist untere Schranke von -M
==> -M ist nach unten beschränkt,
Als nächstes käme dann die Rückrichtung.
Warum ich auf der Supremumsgeschichte herumgeritten bin:
ich wollte zum einen klarmachen, was ein Supremum ist, daß es "mehr" ist als eine obere Schranke.
Zum anderen ist es so, daß nicht jede nach oben beschränke Menge ein Supremum hat, guck Dir die offenen Intervalle an. Auch für diese beschränkten Mengen ohne Supremum gilt die zu beweisende Aussage
-aber ich würde mich nicht wundern, wenn auf deinem Aufgabenblatt eine ähnliche Aufgabe mit "Supremum" auftaucht.
Gruß v. Angela
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