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Infimum bestimmen(Variationsr): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Di 16.10.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Sei [mm] G:=B_1(0)/ \{0\}=\{x \in \IR^2 : 0<|x|<1 \} [/mm] und
[mm] M:=\{u \in C(\overline{G})\cap C^1(G) : u(0)=1, u(x)=0 \forall |x|=1, \int_G |\nabla u|^2dx <\infty\} [/mm]

i)Berechnen Sie
[mm] d:=\inf_{u \in M} [/mm] F(u)
wobei [mm] F(u):=\int_G |\nabla u|^2 [/mm] dx [mm] <\infty [/mm]
ii) Wird das Infimum d in M angenommen?

Tipp: Sei [mm] \eta \in C^{\infty}(\IR) [/mm] mit [mm] \eta(t)=1 [/mm] für [mm] t\le [/mm] 1, [mm] \eta(t)=0 [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 2 und 0 [mm] \le \eta(t) \le [/mm] 1 für 1<t<2.
Betrachten Sie für 0< [mm] \epsilon [/mm] < 1 due Funktion
[mm] u_{\epsilon}(x):=\begin{cases} 1-\eta(\frac{log|x|}{log(\epsilon)}), & \mbox{für }0<|x|\le 1 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm]


Hallöchen,


kann mir jemand sagen/einen Tipp geben wie man hier anfängt/vorgeht?

Wir sind in der Vorlesung noch nicht sonderlich weit gekommen und haben dies als Übungsaufgabe für nächste Woche bekommen.


Vielen Dank und liebe Grüße

        
Bezug
Infimum bestimmen(Variationsr): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Do 18.10.2018
Autor: fred97


> Sei [mm]G:=B_1(0)/ \{0\}=\{x \in \IR^2 : 0<|x|<1 \}[/mm] und
>  [mm]M:=\{u \in C(\overline{G})\cap C^1(G) : u(0)=1, u(x)=0 \forall |x|=1, \int_G |\nabla u|^2dx <\infty\}[/mm]
>  
> i)Berechnen Sie
>  [mm]d:=\inf_{u \in M}[/mm] F(u)
>  wobei [mm]F(u):=\int_G |\nabla u|^2[/mm] dx [mm]<\infty[/mm]
>  ii) Wird das Infimum d in M angenommen?
>  
> Tipp: Sei [mm]\eta \in C^{\infty}(\IR)[/mm] mit [mm]\eta(t)=1[/mm] für [mm]t\le[/mm]
> 1, [mm]\eta(t)=0[/mm] für t [mm]\ge[/mm] 2 und 0 [mm]\le \eta(t) \le[/mm] 1 für
> 1<t<2.
>  Betrachten Sie für 0< [mm]\epsilon[/mm] < 1 due Funktion
> [mm]u_{\epsilon}(x):=\begin{cases} 1-\eta(\frac{log|x|}{log(\epsilon)}), & \mbox{für }0<|x|\le 1 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>  
> Hallöchen,
>  
>
> kann mir jemand sagen/einen Tipp geben wie man hier
> anfängt/vorgeht?

Berechne mal [mm] F(u_{\varepsilon}). [/mm]


>  
> Wir sind in der Vorlesung noch nicht sonderlich weit
> gekommen und haben dies als Übungsaufgabe für nächste
> Woche bekommen.
>  
>
> Vielen Dank und liebe Grüße


Bezug
                
Bezug
Infimum bestimmen(Variationsr): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Do 18.10.2018
Autor: Noya


> > Tipp: Sei [mm]\eta \in C^{\infty}(\IR)[/mm] mit [mm]\eta(t)=1[/mm] für [mm]t\le[/mm]
> > 1, [mm]\eta(t)=0[/mm] für t [mm]\ge[/mm] 2 und 0 [mm]\le \eta(t) \le[/mm] 1 für
> > 1<t<2.
>  >  Betrachten Sie für 0< [mm]\epsilon[/mm] < 1 due Funktion
> > [mm]u_{\epsilon}(x):=\begin{cases} 1-\eta(\frac{log|x|}{log(\epsilon)}), & \mbox{für }0<|x|\le 1 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]

> Berechne mal [mm]F(u_{\varepsilon}).[/mm]

Okay. Danke! Ich versuche es :

[mm] F(u_{\epsilon})=\int_{B_1(0)/{0}} |\nabla u_{\epsilon}(x)|^2dx [/mm]

Hier tritt mit erstes Problem auf...Um [mm] F(u_{\epsilon}) [/mm] zu berechnen benötige ich ja [mm] \nabla u_{\epsilon}(x) [/mm]

x [mm] \in \IR^2, [/mm] d.h. mit x= [mm] (x_1,x_2)^t [/mm] wäre [mm] |x|=\wurzel{x_1^2+x_2^2} [/mm]

ist dann
[mm] \nabla u_{\epsilon}(x) [/mm] = ( [mm] \eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)})\bruch{1}{log(\epsilon)}\bruch{x_1}{|x|},\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)})\bruch{1}{log(\epsilon)}\bruch{x_2}{|x|})^t [/mm] ??? Oder wie funktioniert das?

Danke :-)

Bezug
                        
Bezug
Infimum bestimmen(Variationsr): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:53 Fr 19.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ist dann
> [mm]\nabla u_{\epsilon}(x)[/mm] = (
> [mm]\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)})\bruch{1}{log(\epsilon)}\bruch{x_1}{|x|},\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)})\bruch{1}{log(\epsilon)}\bruch{x_2}{|x|})^t[/mm]

Ja…
Nun steht ja im Integranden aber [mm] $|\nabla u_{\epsilon}(x)|^2$ [/mm] also noch den Betrag bilden und integrieren…

> ??? Oder wie funktioniert das?

So wie immer. Definitionen anwenden, nicht nach dem ersten Schritt aufhören, sondern weitermachen… eigentlich ist in der Aufgabenstellung alles vorgegeben.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Infimum bestimmen(Variationsr): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:43 Fr 19.10.2018
Autor: Noya

Hallöchen,
> > [mm]\nabla u_{\epsilon}(x)[/mm] = ( [mm]\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)})\bruch{1}{log(\epsilon)}\bruch{x_1}{|x|},\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)})\bruch{1}{log(\epsilon)}\bruch{x_2}{|x|})^t[/mm]

[mm] |\nabla u_{\epsilon}(x)|^2=(\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)})\bruch{1}{log(\epsilon)}\bruch{x_1}{|x|})^2+(\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)})\bruch{1}{log(\epsilon)}\bruch{x_2}{|x|})^2 [/mm] = [mm] (\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)}))^2\bruch{1}{log^2(\epsilon)}(\bruch{x_1^2}{|x|^2}+\bruch{x_2^2}{|x|^2}) [/mm] = [mm] (\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)}))^2\bruch{1}{log^2(\epsilon)} [/mm]

[mm] F(u_{\epsilon})=\int_G |\nabla u_{\epsilon}(x)|^2 [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{log^2(\epsilon)} \int_G (\eta'(\frac{log|x|}{log(\epsilon)}))^2 [/mm] dx

>  
> > ??? Oder wie funktioniert das?
>  So wie immer. Definitionen anwenden, nicht nach dem ersten
> Schritt aufhören, sondern weitermachen… eigentlich ist
> in der Aufgabenstellung alles vorgegeben.

ich bin mir dann nur so unsicher und wollte das erst "überprüfen" lassen.
Bei dem Integral weiß ich auch nicht so recht weiter.

könntest du mir da nochmal auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank und liebe Grüße
Noya

Bezug
                                        
Bezug
Infimum bestimmen(Variationsr): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Fr 19.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

rein intuitiv würde ich jetzt erst mal in Polarkoordinaten transformieren… seh aber noch nicht, ob das was bringt.

Vielleicht sieht fred da mehr.

Gruß,
Gono

Bezug
                                        
Bezug
Infimum bestimmen(Variationsr): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 22.10.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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