Infimum und Supremum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Sa 05.11.2005 | | Autor: | sirdante |
Hallöchen,
Habe die Aufgabe das Infimum und Supremum einer Menge zu bestimmen:
M = [mm] \{ (m-n)/(m+n) : m,n \in \IN \setminus 0 \}
[/mm]
Nach ein bissel überlegen und einsetzen bin ich auf inf M = -1 und sup M = 1 gekommen
Beim Beweisen bin ich allerdings stutzig geworden, da, als ich zeigen wollte, dass 1 die kleinste obere Schranke ist, mir
m/(m+1)
einfiel/auffiel, welches größer ist, als
(m-n)/(m+n)
Ist deshalb nun m/(m+1) das Supremum von M? Plötzlich bin ich mir gar nicht mehr so sicher...
Aber eigentlich dürfte doch das Supremum nicht von einer "Veränderlichen" abhängen, oder?
Bitte, kann mir einer versuchen, das zu erklären?! Und evtl. zeigen, wie ich dann beweise, dass 1 die kleinste o.S. ist?!
MFG Dante
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dante,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Habe die Aufgabe das Infimum und Supremum einer Menge zu
> bestimmen:
>
> M = [mm]\{ (m-n)/(m+n) : m,n \in \IN \setminus 0 \}[/mm]
>
> Nach ein bissel überlegen und einsetzen bin ich auf inf
> M = -1 und sup M = 1 gekommen
> Beim Beweisen bin ich allerdings stutzig geworden, da, als
> ich zeigen wollte, dass 1 die kleinste obere Schranke ist,
> mir
>
> m/(m+1)
>
> einfiel/auffiel, welches größer ist, als
>
> (m-n)/(m+n)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Ist deshalb nun m/(m+1) das Supremum von M? Plötzlich bin
> ich mir gar nicht mehr so sicher...
> Aber eigentlich dürfte doch das Supremum nicht von einer
> "Veränderlichen" abhängen, oder?
Das supremum ist eine Zahl und mit
m/(m+1)<1 hast Du schonmal eine obere Schranke.
Um zu zeigen das es wirklich das supremum ist kannst Du
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{m-1}{m+1}
[/mm]
betrachten.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 05.11.2005 | | Autor: | sirdante |
Danke für die rasche Antwort!
Aber ich bin mir immernoch total unsicher...
Reicht es also zu sagen, wenn ich
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty} \bruch{m-1}{m+1}
[/mm]
betrachte, dass es immer kleiner ist als
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty} \bruch{m}{m+1} [/mm] da m,n [mm] \in \IN [/mm] \ 0?
Und deshalb ist
[mm] \bruch{m}{m+1}
[/mm]
das Supremum?
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Hallo Dante,
Du hattest das schon richtig das supremum ist eine Zahl.
Ein obere Schranke war 1. Allerdings echt kleiner 1. D.h. es gibt kein Element der Menge das gleich 1 ist.
Und
[mm]\limes_{m\rightarrow\infty} \bruch{m-1}{m+1}=1[/mm]
bedeutet aber Du kommst beliebig nahe an die 1 heran. Also ist 1 die kleinste obere Schranke.
viele Grüße
mathemaduenn
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