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| Aufgabe | Bestimmen Sie Infimum und Supremum folgender Mengen. Entscheiden Sie, ob ein Maximum bzw. Minimum existiert!
a) M= { [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] :n [mm] \in \IN [/mm] } |
Also ich hab erstmal für n paar natürliche Zahlen eingesetzt...
n=1 [mm] \Rightarrow [/mm] M= [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
n=2 [mm] \Rightarrow [/mm] M= [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
usw.
Also wenn n=1, dann (a [mm] \in [/mm] M) a= buch{1}{3}
wenn n > 1, dann a > [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Also ist inf(M) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
Ist das so korrekt?
Und beim Supremum vermute ich, dass es 0,5 ist... weil sich die Werte der 0,5 annähern. Ist aber kein Maximum, weils ja nicht in der Menge liegt.
Und wie beweis ich das? Mit archimedischen Eigenschaft? Aber so ganz weiß ich nich wie...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Di 20.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Thomas000,
> Bestimmen Sie Infimum und Supremum folgender Mengen.
> Entscheiden Sie, ob ein Maximum bzw. Minimum existiert!
>
> a) M= [mm] $\{ \bruch{n}{2n+1}] :n \in \IN\}$
[/mm]
> Also ich hab erstmal für n paar natürliche Zahlen
> eingesetzt...
> n=1 [mm]\Rightarrow[/mm] M= [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> n=2 [mm]\Rightarrow[/mm] M= [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
> usw.
>
> Also wenn n=1, dann (a [mm]\in[/mm] M) a= buch{1}{3}
> wenn n > 1, dann a > [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Also ist inf(M) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Wenn man aus dem Geschriebenem mit viel gutem Willen das Gemeinte herausliest, ja!
Ich schreibe mal auf, wie ich Deine Argumente interpretiere:
(i) 1/3 liegt in M (setze n=1)
(ii) Für jedes andere Element a in M ist 1/3 < a.
Damit ist [mm] $\inf [/mm] M = [mm] 1/3\,.$
[/mm]
Jetzt fehlt nur noch eine kleine Begründung für (ii) und Dein Beweis ist vollständig.
>
> Und beim Supremum vermute ich, dass es 0,5 ist... weil sich
> die Werte der 0,5 annähern. Ist aber kein Maximum, weils
> ja nicht in der Menge liegt.
>
> Und wie beweis ich das? Mit archimedischen Eigenschaft?
> Aber so ganz weiß ich nich wie...
Die Vermutung ist richtig!
Zum Beweis zeigst Du:
(i) 1/2 ist obere Schranke von M.
(ii) Jede obere Schranke von M ist mindestens 1/2.
(i) überlasse ich Dir.
(ii) ist gleichwertig zu:
Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $a\in [/mm] M$ mit $a > 1/2 - [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Und wie Du schon richtig gesagt hast, folgt dies aus der archimedischen Eigenschaft.
Gruß,
Wolfgang
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