Inhomogene 1. Ordnung TdV < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Di 04.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung für die DGL durch TdV.
[mm] $y'+y*cos(x)=\bruch{1}{2}*sin(2x)$ [/mm] mit [mm] $y(\pi)=1$ [/mm] |
Zunächst habe ich durch Trennen der Veränderlichen die homogene Lösung mit.
[mm] $y_0=e^{-sin(x)}*c$
[/mm]
nun bin ich dabei die partikuläre Lösung zu bestimmen.
Da die Störfunktion vom Typ [mm] $g(x)=sin(\beta [/mm] x)$ ist, muss als Ansatz
[mm] $y_p=A*sin(\beta [/mm] x) + [mm] B*cos(\beta [/mm] x)$ gewählt werden. Hier ist mein Beta ja nun 2.
Wenn ich mich nicht täusche muss ich ja jetzt die Partikuläre Lösung und ihre Ableitung wieder in die Ausgangsfunktion einsetzen um über Koeffeizientenvergleich die Faktoren A und B zu bestimmen.
Das wäre ja dann:
$A*cos(2x) - B*sin(2x) + (A*sin(2x) + B*cos(2x))*cos(x) = 0,5 * sin(2x) + 0*cos(2x)$
Jetzt müsste ich ja eigentlich nur noch nach sin(2x) und cos(2x) sortieren um meine Koeffizienten bestimmen zu können. Aber wie Stelle ich das bei dem Klammerterm an? Da habe ich doch nachher Koeffizienten A und B, die garnicht mehr auf der rechten Seite vorkommen.
Kann mir jemand vielleicht netterweise mal die fehlenden Schritte zur Bestimmung der partikulären Lösung hinschreiben?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Lösung für die DGL durch TdV.
>
> [mm]y'+y*cos(x)=\bruch{1}{2}*sin(2x)[/mm] mit [mm]y(\pi)=1[/mm]
>
> Zunächst habe ich durch Trennen der Veränderlichen die
> homogene Lösung mit.
>
> [mm]y_0=e^{-sin(x)}*c[/mm]
>
> nun bin ich dabei die partikuläre Lösung zu bestimmen.
>
> Da die Störfunktion vom Typ [mm]g(x)=sin(\beta x)[/mm] ist, muss
> als Ansatz
>
> [mm]y_p=A*sin(\beta x) + B*cos(\beta x)[/mm] gewählt werden. Hier
> ist mein Beta ja nun 2.
>
> Wenn ich mich nicht täusche muss ich ja jetzt die
> Partikuläre Lösung und ihre Ableitung wieder in die
> Ausgangsfunktion einsetzen um über Koeffeizientenvergleich
> die Faktoren A und B zu bestimmen.
> Das wäre ja dann:
>
> [mm]A*cos(2x) - B*sin(2x) + (A*sin(2x) + B*cos(2x))*cos(x) = 0,5 * sin(2x) + 0*cos(2x)[/mm]
>
> Jetzt müsste ich ja eigentlich nur noch nach sin(2x) und
> cos(2x) sortieren um meine Koeffizienten bestimmen zu
> können. Aber wie Stelle ich das bei dem Klammerterm an? Da
> habe ich doch nachher Koeffizienten A und B, die garnicht
> mehr auf der rechten Seite vorkommen.
> Kann mir jemand vielleicht netterweise mal die fehlenden
> Schritte zur Bestimmung der partikulären Lösung
> hinschreiben?
Schreibe die Störfunktion um:
[mm] $\bruch{1}{2}*sin(2x)=sin(x)*cos(x)$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Di 04.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Dann erhalte ich ja.
[mm] $A*cos(x)-B*sin(x)+A*sin(x)*cos(x)+B*cos(x)^2 [/mm] = sin(x)*cos(x)$
Nun ist ja A der einzige Koeffizient, der von sin(x)cos(x) abhängt und praktischerweise auch gleich 1 ist. Damit wäre ja B=0.
Somit wäre ja dann die partikuläre Lösung.
[mm] $y_p=sin(x)$
[/mm]
Richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Morph007,
> Dann erhalte ich ja.
>
> [mm]A*cos(x)-B*sin(x)+A*sin(x)*cos(x)+B*cos(x)^2 = sin(x)*cos(x)[/mm]
>
> Nun ist ja A der einzige Koeffizient, der von sin(x)cos(x)
> abhängt und praktischerweise auch gleich 1 ist. Damit
> wäre ja B=0.
> Somit wäre ja dann die partikuläre Lösung.
> [mm]y_p=sin(x)[/mm]
>
> Richtig?
Nein, das ist nicht richtig.
Geschweige denn, daß dies der richtige Ansatz
für die partikuläre Lösung ist, da dies eine DGL mit
variablen Koeffizienten ist. Die partikuläre Lösung
ist z.B. mit HIlfe der Variation der Konstanten zu ermitteln.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Di 04.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Aber es war doch explizit gefordert mit Trennen der Veränderlichen zu lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aber es war doch explizit gefordert mit Trennen der
> Veränderlichen zu lösen.
Dieses Verfahren funktioniert nur bei der homogenen Gl
[mm] $y'+y\cdot{}cos(x)=0$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 04.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Könntest Du mir vielleicht den Lösungsweg nach dem Verfahren hier einmal aufschreiben?
|
|
|
| |
|
Hallo Morph007,
> Könntest Du mir vielleicht den Lösungsweg nach dem
> Verfahren hier einmal aufschreiben?
Die partikuläre Lösung ermittelst Du über den Ansatz
[mm]y_{p}\left(x\right)=e^{-\sin\left(x\right)}*c\left(x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Di 04.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Habe jetzt leider keine Zeit mehr, muss nachher den Rest nochmal als Frage stellen.
Mit deinem Ansatz bin ich jetzt so weit, dass ich ihn abgeleitet und in die Ursprungsgleichung eingesetzt habe. Darauf kürzt sich das ganze wie folgt:
[mm] $e^{-sin(x)}*c'(x)=0,5*sin(2x)$
[/mm]
Als nächstes würde ich jetzt nach c'(x) auflösen und dieses dann integrieren und in meine homogene Lösung einsetzen.
Wenn ich das getan habe, habe ich ja mein C. Nur wo kommt jetzt im Ergebnis(Musterlösung) das + sin (x) -1 her??
|
|
|
| |
|
Hallo Morph007,
> Habe jetzt leider keine Zeit mehr, muss nachher den Rest
> nochmal als Frage stellen.
>
> Mit deinem Ansatz bin ich jetzt so weit, dass ich ihn
> abgeleitet und in die Ursprungsgleichung eingesetzt habe.
> Darauf kürzt sich das ganze wie folgt:
>
> [mm]e^{-sin(x)}*c'(x)=0,5*sin(2x)[/mm]
>
> Als nächstes würde ich jetzt nach c'(x) auflösen und
> dieses dann integrieren und in meine homogene Lösung
> einsetzen.
>
> Wenn ich das getan habe, habe ich ja mein C. Nur wo kommt
> jetzt im Ergebnis(Musterlösung) das + sin (x) -1 her??
Dieses Ergebnis ergibt sich dann,
wenn Du das C in den Ansatz einsetzt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:36 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Also setze ich dann das integrierte c'(x) in den partikulären Ansatz ein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also setze ich dann das integrierte c'(x) in den
> partikulären Ansatz ein?
Nein. Bestimme aus c' die Funktion c. Setze dann c in den Ansatz ein.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:25 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Ja und mit Ansatz ist doch $ [mm] y_{p}\left(x\right)=e^{-\sin\left(x\right)}\cdot{}c\left(x\right) [/mm] $ gemeint, oder nicht?
Übrigens habe ich gerade meine Lösung vom Prof. gefunden und er geht da komplett anders ran. Er bestimmt auch zunächst die homogene Lösung, geht dann aber für den Rest an die komplette Gleichung und stellt diese wieder nach y' um, also:
$y'=0,5*sin(2x) - cos(x)*y$
[mm] \gdw
[/mm]
$y'=sin(x) * cos(x) - cos(x) * y$
[mm] \gdw
[/mm]
$y'=cos(x)*(sin(x)-y)$
Damit geht er direkt in die Substitution:
$u=sin(x)-y$
$u'=cos(x)-y'$
$y'=cos(x)-u'$
$cos(x)-u'=cos(x)*u$
[mm] \gdw
[/mm]
$u'=cos(x)-cos(x)*u=-cos(x)*(u-1)$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\integral{\bruch{du}{dx}}=-\integral{cos(x)*(u-1)}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\integral{\bruch{du}{u-1}}=-\integral{cos(x)dx}$
[/mm]
USW.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Mi 05.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ja und mit Ansatz ist doch
> [mm]y_{p}\left(x\right)=e^{-\sin\left(x\right)}\cdot{}c\left(x\right)[/mm]
> gemeint, oder nicht?
Ja.
> Übrigens habe ich gerade meine Lösung vom Prof. gefunden
> und er geht da komplett anders ran. Er bestimmt auch
> zunächst die homogene Lösung, geht dann aber für den
> Rest an die komplette Gleichung und stellt diese wieder
> nach y' um, also:
>
> [mm]y'=0,5*sin(2x) - cos(x)*y[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]y'=sin(x) * cos(x) - cos(x) * y[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]y'=cos(x)*(sin(x)-y)[/mm]
>
> Damit geht er direkt in die Substitution:
>
> [mm]u=sin(x)-y[/mm]
> [mm]u'=cos(x)-y'[/mm]
> [mm]y'=cos(x)-u'[/mm]
> [mm]cos(x)-u'=cos(x)*u[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]u'=cos(x)-cos(x)*u=-cos(x)*(u-1)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\integral{\bruch{du}{dx}}=-\integral{cos(x)*(u-1)}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\integral{\bruch{du}{u-1}}=-\integral{cos(x)dx}[/mm]
>
> USW.
Hast du dazu noch eine Frage? Im Grunde wurde am Anfang ge-
schickt das Additiontheorem benutzt mit
[mm] \sin(2x)=\sin(x+x)=\ldots
[/mm]
und der Rest sollte klar sein.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Nachdem ich die Aufgabe nochmal von Anfang an mit dem Ansatz des Profs gerechnet habe, habe ich sie hinbekommen.
Daher habe ich vorerst keine Frage mehr dazu.
|
|
|
|
