Inhomogene DGL < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich sitze hier mit meiner Freundin und wir zerbrechen uns den Kopf bezüglich einer Aufgabe:
2*x´´+3*x´+10 *x=sin(2t)+1
Wie sind die Lösungsansätze. Das einzige was wir wissen, ist, das man zuerst den homogenen Teil lösen muss, der homogene plus dem inhomogenen die Lösung ergibt und noch irgendwie die Störfunktion da hinein zu denken ist. Wir sind Anfänger. Bitte helft uns.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen lieben Dank
Gaby und Helmut
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Hallo,
zunächst mal zur homogenen DGL:
[mm]2x''\; + \;3x'\; + \;10x\; = \;0[/mm]
Hier wird der allgemeine Ansatz [mm]x\left( t \right)\; = \;e^{rt} [/mm] gemacht. Dieser Ansatz führt dann auf die Gleichung
[mm]2r^{2} \; + \;3r\; + \;10\; = \;0[/mm]
Diese Gleichung ist nun zu lösen:
Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden:
i) [mm]r_{1} \; \ne \;r_{2} \; \in \;\mathbb{R}[/mm]
[mm]x_{h} \left( t \right)\; = \;c_{1} \;e^{r_{1} t} \; + \;c_{2} \;e^{r_{2} t} [/mm]
ii) [mm]r_{1} \; = \;r_{2} \; = \;r\; \in \;\mathbb{R}[/mm]
[mm]x_{h} \left( t \right)\; = \;\left( {c_{1} \;t\; + \;c_{2} } \right)\;e^{rt}[/mm]
iii) [mm]r_{1/2} \; = \;\alpha \; \pm \;i\;\beta [/mm]
[mm]x_{h} \left( t \right)\; = \;e^{\alpha t} \;\left( {c_{1} \;\sin \left( {\beta t} \right)\; + \;c_{2} \;\cos \left( {\beta t} \right)} \right)[/mm]
Der Ansatz für die inhomogene DGL ist hier:
[mm]x_{p} \left( t \right)\; = \;A\;\sin (2t)\; + \;B\;\cos (2t)\; + \;C[/mm]
Die Unbekannten A,B und C sind dann durch Einsetzen in die DGL zu ermitteln.
Sollte aber sin(2t) oder cos(2t) Lösung der homogenen DGL sein,
so ist wie folgt anzusetzen:
[mm]x_{p} \left( t \right)\; = \;t\left( {A\;\sin (2t)\; + \;B\;\cos (2t)\;} \right)\; + \;C[/mm]
Analog verhält es sich, wenn die Konstante Lösung der homogenen DGL ist:
[mm]x_{p} \left( t \right)\; = \;A\;\sin (2t)\; + \;B\;\cos (2t)\; + \;Ct[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo,
Ich habe folgendes Problem...
ich hab mir das problem auch mal angeguckt weil ich mit der ganzen sache noch nicht so vertraut bin
ich weiß zwar wie man die zugehörige homogene differentialgleichung löst, aber mir ist wirklich immer noch äußerst schleierhaft wieso man über den ansatz die partikuläre dlg lösen kann...
= 0 ist doch was komplett anderes als = C oder = f(t)
warum muss ich immer zuerst die homogene gleichung lösen und warum gibts keinen direkten weg zur lösung einer inhomogenen gleichung?
ich hoffe meine frage ist verständlich gestellt...
desweiteren wenn ich die homogene gleichung gelöst habe: wie komm ich auf den zugehören ansatz für die lösung der Inhomogenen...
ich würde mich freuen wenn jemand mit beispielen sich die mühe macht mir das etwas zu erläutern... verzweifele da jetzt schon lange dran und keiner konnte mir das vernünftig erklären...
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 26.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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