Inhomogene DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | y' + 15 y =5x*sin(x)
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Hallo,
ich versuche die inhomogene DGL y' + 15 y =5x*sin(x) zu lösen.
Die homogene Lösung ist klar: [mm] y_h [/mm] = k * e^(-15x)
Für den Störterm habe ich den partikulären Ansatz [mm] y_p [/mm] = (ax+b)*( c*sin(x) + d*cos(x) ) gewählt.
Setze ich [mm] y_p [/mm] und [mm] y_p' [/mm] in die DGL ein, bekomme ich:
(acx + ad + bc)*COS(x) - (adx - ac + bd)*SIN(x) + 15*[ (ax + b)*(c*SIN(x) + d*COS(x)) ] =5x*sin(x)
(ax(c + 15d) + ad + b(c + 15d))*COS(x) + (ax(15c - d) + ac + b(15c - d))*SIN(x) = 5x*SIN(x)
Der Koeffizientenvergleich endet aber im Chaos:
I) ax(c + 15d) + ad + b(c + 15d) = 0
II) ax(15c - d) + ac + b(15c - d) = 5x
------------------------------------------------------
Ia) ax(c + 15d) = 0
Ib) ad + b(c + 15d) = 0
IIa) a(15c - d) = 5
IIb) ac + b(15c - d) = 0
Ab hier nur noch Widersprüche.
Es wäre nett, wenn man mir bitte auf die Sprünge helfen könnte. Sabine
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Hi, Sabine,
> y' + 15 y =5x*sin(x)
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> Hallo,
> ich versuche die inhomogene DGL y' + 15 y =5x*sin(x) zu
> lösen.
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> Die homogene Lösung ist klar: [mm]y_h[/mm] = k * e^(-15x)
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> Für den Störterm habe ich den partikulären Ansatz [mm]y_p[/mm] =
> (ax+b)*( c*sin(x) + d*cos(x) ) gewählt.
>
> Setze ich [mm]y_p[/mm] und [mm]y_p'[/mm] in die DGL ein, bekomme ich:
>
> (acx + ad + bc)*COS(x) - (adx - ac + bd)*SIN(x) + 15*[ (ax
> + b)*(c*SIN(x) + d*COS(x)) ] =5x*sin(x)
>
> (ax(c + 15d) + ad + b(c + 15d))*COS(x) + (ax(15c - d) + ac
> + b(15c - d))*SIN(x) = 5x*SIN(x)
>
>
> Der Koeffizientenvergleich endet aber im Chaos:
>
> I) ax(c + 15d) + ad + b(c + 15d) = 0
>
> II) ax(15c - d) + ac + b(15c - d) = 5x
>
> ------------------------------------------------------
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> Ia) ax(c + 15d) = 0
>
> Ib) ad + b(c + 15d) = 0
>
> IIa) a(15c - d) = 5
>
> IIb) ac + b(15c - d) = 0
>
> Ab hier nur noch Widersprüche.
Das heißt: Dein Ansatz passt nicht!
Mein Vorschlag:
Probiers mal mit: [mm] y_{p} [/mm] = (ax+b)*sin(x) + (cx+d)*cos(x)
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein.
Dein Vorschlag ist leider keine echte Alternative.
>> Probiers mal mit: $ [mm] y_{p} [/mm] $ = (ax+b)*sin(x) + (cx+d)*cos(x)
Wenn du meinen Ansatz umstellst, kommst du genau auf deinen Ansatz:
(ax+b)*( c*sin(x) + d*cos(x) )
= axc*sin(x) + bc*sin(x) + axd*cos(x) + bd*cos(x)
= [ axc + bc ] * sin(x) + [ axd + bd ] * cos(x)
= [ ux + v ] * sin(x) + [ rx + s ] * cos(x)
Die letzte Zeile entspricht deinem Ansatz (nur andere Buchstaben).
Ich bin also auch weiterhin auf der Suche. Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Fr 10.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Zwerglein.
> Dein Vorschlag ist leider keine echte Alternative.
>
> >> Probiers mal mit: [mm]y_{p}[/mm] = (ax+b)*sin(x) + (cx+d)*cos(x)
>
> Wenn du meinen Ansatz umstellst, kommst du genau auf deinen
> Ansatz:
>
> (ax+b)*( c*sin(x) + d*cos(x) )
>
> = axc*sin(x) + bc*sin(x) + axd*cos(x) + bd*cos(x)
>
> = [ axc + bc ] * sin(x) + [ axd + bd ] * cos(x)
In beiden Summanden kommen a und b vor !!!
Versuchs doch mal mit Zwergleins Anatz (welcher allgemeiner als DEiner ist)
FRED
>
> = [ ux + v ] * sin(x) + [ rx + s ] * cos(x)
>
> Die letzte Zeile entspricht deinem Ansatz (nur andere
> Buchstaben).
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> Ich bin also auch weiterhin auf der Suche. Sabine
>
>
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Hallo Zwerglein, hallo Fred.
Es klappt tatsächlich! Zwerglein hat mit seiner Idee ins Schwarze getroffen.
Habt ihr noch eine Idee, wie ich die Lösung mit dem Ansatz $ [mm] y_p [/mm] $ = (ax+b)*[ sin(x) + cos(x) ] hinbekomme? In meinem alten (falschen) Ansatz ist dann c=d=1. Ein solcher Typ soll nämlich angewendet werden. Eigentlich kann dies aber doch gar nicht funktionieren, oder?
Sabine
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Hallo Sabine818,
> Hallo Zwerglein, hallo Fred.
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> Es klappt tatsächlich! Zwerglein hat mit seiner Idee ins
> Schwarze getroffen.
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> Habt ihr noch eine Idee, wie ich die Lösung mit dem Ansatz
> [mm]y_p[/mm] = (ax+b)*[ sin(x) + cos(x) ] hinbekomme? In meinem
> alten (falschen) Ansatz ist dann c=d=1. Ein solcher Typ
> soll nämlich angewendet werden. Eigentlich kann dies aber
> doch gar nicht funktionieren, oder?
Besser ist hier der Ansatz:
[mm]y_{p}\left(x\right)=\left(Cx+D\right)*\sin\left(x\right)+\left(Ex+F\right)*\cos\left(x\right)[/mm]
Setze diesen Ansatz in die DGL ein
und mache dann einen ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich
>
> Sabine
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hallo, MathePower,
und inwiefern unterscheidet sich Dein Ansatz von meinem?!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Sabine818 |
Hallo. Ich habe mit anderen Leuten aus der Lerngruppe gesprochen. Die Vorgabe aus der Aufgabenstellung ist wohl nicht korrekt. Eure Ideen waren richtig und ich habe jetzt die DGl auch lösen können.
Vielen Dank an alle Mitdenker 
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