Inhomogene DGL 2 Grades < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 24.02.2010 | | Autor: | Deko |
| Aufgabe | Folgende Gleichung ist gegeben
y´´+y´-2y=g(x)
G(x) stellt eine Störfunktion dar die in diesem Fall als
g(x) = 3*e^4x ist |
Gefragt ist die Lösung der DGL
Ansatz ist relativ easy mit Exponentialansatz
Aus dem folgt
[mm] \lambda [/mm] ² + [mm] \lambda [/mm] -2 =o
=> [mm] \lambda [/mm] 1 = 1 und [mm] \lambda [/mm] 2 = -2
=> y0 = [mm] C1*e^x [/mm] + C2 *e^-2x
Nun wird für die Störfunktion ein ansatz gesucht
Ich wähle den Ansatz
yp= A * e^4x
(weil 4 keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist) <- so steht in meinem buch
Hier meine erste Frage: Was ist die Charakteristische Gleichung?
Dem ergebnis zufolge muss es
[mm] \lambda [/mm] ² + [mm] \lambda [/mm] -2 =o sein.
Was macht die Charakteristische Gleichung aus und wie erkenn ich sie?
Nun da ich den ansatz für die Inhomogene Lösung bestimmt habe komm ich ncith weiter da ich nicht weiß wie ich mit diesem ansatz verfahren soll.
Wäre super wenn mir da einer auf die sprünge helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hey hey ....
also die char gleichung hast du ja schon gelöst, das ist die mit dem lambda =)
sie ist die lösung der homogenen gleichung.
du hast nun als ansatz für deine inhomogene A*e^(4x) gewählt. das ist dein ansatz für deine partikuläre lösung vom y, also [mm] y_p.
[/mm]
dann setzt du dein [mm] y_p [/mm] in deine differentialgleichung ein und machst einen koeffizientenvergleich um auf dieses A zu kommen ...
in deinem fall:
[mm] y_p''+y_p'- 2*y_p=3*e^{4x}.
[/mm]
zum schluss ergibt sich dann die gesamtlösung aus der summe deiner lösung der homogenen PLUS der lösung der inhomogenen gleichung, also in deinem fall [mm] y=c_1*e^x [/mm] + [mm] c_2*e^{-2x}+A*e^{4x} [/mm] und dein A hast du ja dann durch den koeffizientenvergleich bestimmt.
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