Inhomogene DLG < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | Bestimme jeweils die allgemeine Lösung für die lineare DLG mit den konstanten Koeffizienten:
1. [mm]y''' -4y'' + 5y' -2y = e^{-t}[/mm]
2. [mm]y''' -4y'' + 5y' -2y = e^{2t}[/mm]
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Hallo nochmal an alle lieben Helfer :) Ja richtig gehört, die bösen grüße ich nicht :D Aber davon gibt's hier ja keine 
Ich weiß nun wie man homogene lineare DLG (2.Ordnung) lösen kann.
Und zwar mit dem Ansatz:
[mm]y = e^{\lambda x}[/mm] (Danke nochmal an Richie)
Nun liegen hier zwei inhomogene DLG vor.
Inwiefern ändert sich der Ansatz?
Zu 1:
Meine erste Idee war [mm]y = e^{-t}[/mm]. Das hat leider nicht hingehauen.
Könnt Ihr mir bitte den allg. Ansatz veraten?
Mopsi
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Hallo Mopsi,
> Bestimme jeweils die allgemeine Lösung für die lineare
> DLG mit den konstanten Koeffizienten:
>
> 1. [mm]y''' -4y'' + 5y' -2y = e^{-t}[/mm]
>
> 2. [mm]y'' -4y'' + 5y' -2y = e^{2t}[/mm]
>
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> Hallo nochmal an alle lieben Helfer :) Ja richtig gehört,
> die bösen grüße ich nicht :D Aber davon gibt's hier ja
> keine
>
> Ich weiß nun wie man homogene lineare DLG (2.Ordnung)
> lösen kann.
>
> Und zwar mit dem Ansatz:
>
> [mm]y = e^{\lambda x}[/mm] (Danke nochmal an Richie)
>
> Nun liegen hier zwei inhomogene DLG vor.
> Inwiefern ändert sich der Ansatz?
>
Der Ansatz für die homogene DGL ist der gleiche.
> Zu 1:
>
> Meine erste Idee war [mm]y = e^{-t}[/mm]. Das hat leider nicht
> hingehauen.
>
Der Ansatz richtet sich in erster Linie nach der Inhomogenität.
Ist die Inhomogenität oder ein Teil von ihr, Lösung der homogenen
DGL, so ist der Ansatz entsprechend der Vielfachheit [mm]\alpha[/mm]
im charakteristischen Polynom der homogenen DGL zu multilplizieren.
Konkret:
Zunächst ist der Ansatz für die inhomogene Lösung der DGL
[mm]y=a*e^{-t},\ a \in \IR [/mm]
Dieser Ansatz ändert sich nur,. wenn [mm]e^{-t}[/mm]
Lösung der homogenen DGL ist.
Ist dies der Fall, dann ist der Ansatz mit [mm]t^{\alpha}[/mm] zu multiplizieren.
Wobei [mm]\alpha[/mm] die Vielachheit der Nullstelle -1 im
charakteristischen Polynom ist.
> Könnt Ihr mir bitte den allg. Ansatz veraten?
>
>
> Mopsi
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Mopsi |
Guten Abend MathePower und vielen Dank für deine Antwort :)
Ich denke, das habe ich verstanden.
Ansatz:
[mm]y=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y'=-at*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y''=at^2*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y'''=-at^3*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y''' -4y'' + 5y' -2y = e^{-t} \iff (at^3-4at^2-5at-a)-e^{-t} = 0[/mm]
Ist das soweit richtig?
Muss ich hier nun Polynomdivision anwenden?
Aber ich habe zwei Unbekannte... geht das dann trotzdem?
Oder geht es ganz anders weiter?
Danke nochmal :)
Mopsi
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Hallo Mopsi,
> Guten Abend MathePower und vielen Dank für deine Antwort
> :)
>
> Ich denke, das habe ich verstanden.
>
> Ansatz:
> [mm]y=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
> [mm]y'=-at*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
>
> [mm]y''=at^2*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
> [mm]y'''=-at^3*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
>
Der Ansatz ist mit [mm]y=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm] korrekt,
nur die Ableitugnen nicht.
> [mm]y''' -4y'' + 5y' -2y = e^{-t} \iff (at^3-4at^2-5at-a)-e^{-t} = 0[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
> Muss ich hier nun Polynomdivision anwenden?
> Aber ich habe zwei Unbekannte... geht das dann trotzdem?
> Oder geht es ganz anders weiter?
>
Korrigiere zunächst die Ableitungen des Ansatzes
und setze dies dann in die inhogene DGL ein.
Durch Koeffizientenvergleich kannst Du dann das unbekannte a bestimmen.
> Danke nochmal :)
>
> Mopsi
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Der Ansatz ist mit [mm]y=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm] korrekt,
> nur die Ableitugnen nicht.
Woher weiß ich denn nach welcher Variable ich ableiten soll?
Ich meine da steht nur y,y',y'' und y''' und nicht y(t).
Ansatz:
[mm]y=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y'=-a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y''=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y'''=-a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y''' -4y'' + 5y' -2y = e^{-t} \iff -ae^{-t} - 4ae^{-t} -5ae^{-t} -2ae^{-t} = e^{-t}[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm]-a -4a -5a -2a = 1 \iff a = - \frac{1}{12}[/mm]
Das heißt die einzige Lösung wäre:
[mm]y= -\frac{1}{12}*e^{-t}[/mm]
Nun hast du mir aber erklärt:
> Ist die Inhomogenität oder ein Teil von ihr, Lösung der homogenen
> DGL, so ist der Ansatz entsprechend der Vielfachheit [mm]\alpha[/mm]
> im charakteristischen Polynom der homogenen DGL zu multilplizieren.
Jetzt ist doch ein Teil der Inhomogenität ein Teil der Lösung, oder?
Also multipliziere ich [mm]t^\alpha[/mm] mit dem Ansatz:
[mm]y= -\frac{1}{12}*e^{-t} * t^\alpha[/mm]
Das mit dem Alpha habe ich aber nicht verstanden:
> Wobei [mm]\alpha[/mm] die Vielachheit der Nullstelle -1 im
> charakteristischen Polynom ist.
Was heißt das? Wieso gerade Minus 1?
Danke MathePower :)
Mopsi
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Hallo Mopsi,
> > Der Ansatz ist mit [mm]y=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm] korrekt,
> > nur die Ableitugnen nicht.
>
> Woher weiß ich denn nach welcher Variable ich ableiten
> soll?
> Ich meine da steht nur y,y',y'' und y''' und nicht y(t).
>
Abgeleitet wird immer nach t.
> Ansatz:
> [mm]y=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
> [mm]y'=-a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
>
> [mm]y''=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
> [mm]y'''=-a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm]
>
>
> [mm]y''' -4y'' + 5y' -2y = e^{-t} \iff -ae^{-t} - 4ae^{-t} -5ae^{-t} -2ae^{-t} = e^{-t}[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich:
> [mm]-a -4a -5a -2a = 1 \iff a = - \frac{1}{12}[/mm]
>
> Das heißt die einzige Lösung wäre:
> [mm]y= -\frac{1}{12}*e^{-t}[/mm]
>
Das ist die Lösung der inhomogenen DGL.
Damit bist Du hier schon fertig.
> Nun hast du mir aber erklärt:
> > Ist die Inhomogenität oder ein Teil von ihr, Lösung
> der homogenen
> > DGL, so ist der Ansatz entsprechend der Vielfachheit
> [mm]\alpha[/mm]
> > im charakteristischen Polynom der homogenen DGL zu
> multilplizieren.
>
> Jetzt ist doch ein Teil der Inhomogenität ein Teil der
> Lösung, oder?
>
Nein, [mm]e^{-t}[/mm] ist keine Lösung der homogenen DGL
[mm]y''' -4y'' + 5y' -2y = 0[/mm]
> Also multipliziere ich [mm]t^\alpha[/mm] mit dem Ansatz:
>
> [mm]y= -\frac{1}{12}*e^{-t} * t^\alpha[/mm]
>
> Das mit dem Alpha habe ich aber nicht verstanden:
> > Wobei [mm]\alpha[/mm] die Vielachheit der Nullstelle -1
> im
> > charakteristischen Polynom ist.
>
Das mit dem [mm]\alpha[/mm] ist nur interessant,
wenn [mm]e^{-t}[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist.
> Was heißt das? Wieso gerade Minus 1?
>
>
> Danke MathePower :)
>
> Mopsi
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Hallo Mopsi,
>
> > > Der Ansatz ist mit [mm]y=a*e^{-t},\ a \in \IR[/mm] korrekt,
> > > nur die Ableitugnen nicht.
> >
> > Woher weiß ich denn nach welcher Variable ich ableiten
> > soll?
> > Ich meine da steht nur y,y',y'' und y''' und nicht
> y(t).
> >
>
>
> Abgeleitet wird immer nach t.
Und was wäre, wenn da stehen würde:
[mm]y''' -4y'' + 5y' -2y = e^{-t}*x[/mm] ?
> Das mit dem [mm]\alpha[/mm] ist nur interessant,
> wenn [mm]e^{-t}[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist.
Okay, verstanden :)
Zu 2:
Ansatz:
[mm]y=a\cdot{}e^{2t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y'=2a\cdot{}e^{2t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y''=4a\cdot{}e^{2t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y'''=8a\cdot{}e^{2t},\ a \in \IR[/mm]
[mm]y'' -4y''' + 5y' -2y = e^{2t} \iff 8a\cdot{}e^{2t} - 16a\cdot{}e^{2t} + 10a\cdot{}e^{2t} -2a\cdot{}e^{2t} = e^{2t}[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm]8a - 16a + 10a -2a = 1 \iff 1 = 0[/mm]
Huch, was ist denn jetzt passiert?
Habe ich etwas falsch gemacht?
Danke MathePower :)
Mopsi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Do 04.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, Du musst immer zuerst die homogene Dgl lösen und zu deren allgemeiner Lüsung dann die partikuläre der inhomogenen addieren, das fehlt auch noch bei der ersten!
wenn [mm] e^{2t} [/mm] schon eine lösungist wurde dir der neue ansatz für die partikuläre Lösung schon gesagt!! Eigentlich sollte sowas auch in deinem skript oder Buch sthen?
Gruss leduart
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