Inhomogene Diff.gl. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie die Lösung des dreidimensionalen linearen Systems von inhomogenen Differntialgleichungen: x'(t)=Ax(t)+(e^5t)b
mit [mm] x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] A=\begin{pmatrix}
0 & 1 &-1 \\ -2 & 3 & -1\\ -1&1&1\end{pmatrix} [/mm] und [mm] b=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] |
Bis jetzt habe ich berechnet:
λ(1)=1 , n(1)=2, g(1)=1
λ(2)=2 , n(2)=1, g(2)=1
[mm] v(1)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] h(1)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] v(2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
die homogene Lösung [mm] xh(t)=c(1)*(e^t)*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+t*c(1)*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})*(e^t)+c(2)*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}*(e^{2t})
[/mm]
Wie komme ich nun auf meine Partikulärlösung xp(t) ?
müsste noch nach dem Prinzip xp(t)=X(T)*c funktionieren.. komme jedoch auf keinen grünen Zweig :(
LG Scherzkrapferl
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bin jetzt so weit gekommen dass ich den Ansatz nehme:
[mm] xp(t)=(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] -->xp'(t)=5*(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}=Axp+(e^{5t})*b [/mm] = [mm] (e^{5t})*\begin{pmatrix} -d2+d3 \\-2d1+3d2-d3 \\ -d1+d2+d3 \end{pmatrix}+(e^{5t})*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
nun müsste ich ja einen Koeffizientenvergleich durchführen um d zu ermitteln damit ich anschließend x(t)=xh(t)+xp(t)=d*(e^(5t))+xh(t) zu ermitteln.
Jedoch verstehe ich in diesem Fall den Koeffizientenvergleich nicht..
LG Scherzkrapferl
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Hallo scherzkrapferl,
> bin jetzt so weit gekommen dass ich den Ansatz nehme:
>
> [mm]xp(t)=(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]-->xp'(t)=5*(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}=Axp+(e^{5t})*b[/mm]
> = [mm](e^{5t})*\begin{pmatrix} -d2+d3 \\-2d1+3d2-d3 \\ -d1+d2+d3 \end{pmatrix}+(e^{5t})*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> nun müsste ich ja einen Koeffizientenvergleich
> durchführen um d zu ermitteln damit ich anschließend
> x(t)=xh(t)+xp(t)=d*(e^(5t))+xh(t) zu ermitteln.
>
> Jedoch verstehe ich in diesem Fall den
> Koeffizientenvergleich nicht..
Teile uns mit, was Du daran nicht verstehst.
>
> LG Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
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> Hallo scherzkrapferl,
>
> > bin jetzt so weit gekommen dass ich den Ansatz nehme:
> >
> > [mm]xp(t)=(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]-->xp'(t)=5*(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}=Axp+(e^{5t})*b[/mm]
> > = [mm](e^{5t})*\begin{pmatrix} -d2+d3 \\-2d1+3d2-d3 \\ -d1+d2+d3 \end{pmatrix}+(e^{5t})*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > nun müsste ich ja einen Koeffizientenvergleich
> > durchführen um d zu ermitteln damit ich anschließend
> > x(t)=xh(t)+xp(t)=d*(e^(5t))+xh(t) zu ermitteln.
> >
> > Jedoch verstehe ich in diesem Fall den
> > Koeffizientenvergleich nicht..
>
>
> Teile uns mit, was Du daran nicht verstehst.
>
>
> >
> > LG Scherzkrapferl
>
>
> Gruss
> MathePower
ich verstehe nicht ganz wie ich nun durch Koeffizientenvergleich von
[mm]-->xp'(t)=5*(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}=Axp+(e^{5t})*b[/mm]
> > = [mm](e^{5t})*\begin{pmatrix} -d2+d3 \\-2d1+3d2-d3 \\ -d1+d2+d3 \end{pmatrix}+(e^{5t})*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
auf den Vektor d komme.
wenn ich es richtig verstanden habe müsste d1=0 sein da ja in der ersten zeile d1 nicht vorkommt. in der 2. Zeile steht 5*d2=-2d1+d2-d3+2 --> also denke ich folgt dass d2=1 sein muss da die gleichung 5*d2=d2+2 so am einfachsten zu lösen ist. wenn ich nun d2 und d1 in der letzten Zeile einsetze muss folgen: 5*d3=d3 also muss d3=0 sein.
Bin mir jedoch nicht sicher ob dies simmt.
LG Scherzkrapferl
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also folgt dass der Vektor [mm] d=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] ist.
sprich [mm] x(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}*(e^{5t})+xh(t) [/mm] !?!?!
und [mm] x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1 \\ c1 + c2 \\ -c2 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
-->c1=0 , c2=-2 , c3=0
=> woraus schließlich folgt [mm] x(t)=\begin{pmatrix} -2e^(t) \\(e^(5t))-(2e^t)*t \\ 2e^t \end{pmatrix}[/mm]
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> also folgt dass der Vektor [mm]d=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> ist.
>
> sprich [mm]x(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}*(e^{5t})+xh(t)[/mm]
> !?!?!
>
> und [mm]x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1 \\ c1 + c2 \\ -c2 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> -->c1=0 , c2=-2 , c3=0
>
> => woraus schließlich folgt [mm]x(t)=\begin{pmatrix} -2e^(t) \\(e^(5t))-(2e^t)*t \\ 2e^t \end{pmatrix}[/mm]
>
sieht doch nach der gewünschten Lösung aus ?! :D
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Hallo scherzkrapferl,
> > also folgt dass der Vektor [mm]d=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> > ist.
> >
> > sprich [mm]x(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}*(e^{5t})+xh(t)[/mm]
> > !?!?!
> >
> > und [mm]x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1 \\ c1 + c2 \\ -c2 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > -->c1=0 , c2=-2 , c3=0
> >
> > => woraus schließlich folgt [mm]x(t)=\begin{pmatrix} -2e^(t) \\(e^(5t))-(2e^t)*t \\ 2e^t \end{pmatrix}[/mm]
> >
>
> sieht doch nach der gewünschten Lösung aus ?! :D
Diese Lösung ist nicht richtig.
Gruss
MathePower
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Angabe korrigiert. Habe mich leider vertippt. - die Lösung sollte meiner Meinung nach jetzt stimmen
LG Scherzkrapferl
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Hallo MathePower,
Nach der Korrektur meiner Angabe (tut mir leid sollte nicht vorkommen) denke ich dass meine Lösung nun stimmt.
Kannst du mir da zustimmen, oder habe ich etwas nicht beachtet/übersehen ?
LG Scherzkrapferl
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Hallo scherzkrapferl,
> Hallo MathePower,
>
> Nach der Korrektur meiner Angabe (tut mir leid sollte nicht
> vorkommen) denke ich dass meine Lösung nun stimmt.
>
> Kannst du mir da zustimmen, oder habe ich etwas nicht
> beachtet/übersehen ?
Der Hauptvektor h(1) muß lauten:
[mm]\pmat{1 \\ 1 \\ \blue{-}1}[/mm]
Sonst stimmt die homogene Lösung.
>
> LG Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
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> Der Hauptvektor h(1) muß lauten:
>
> [mm]\pmat{1 \\ 1 \\ \blue{-}1}[/mm]
>
> Sonst stimmt die homogene Lösung.
>
>
> Gruss
> MathePower
vielen Dank für die Korrektur. Habe es nochmal durchgerechnet und bin auch auf eine andere Partikulärlösung gekommen:
homogene Lösung:
$ [mm] xh(t)=c(1)\cdot{}(e^t)\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot{}c(1)\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})\cdot{}(e^t)+c(2)\cdot{}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot{}(e^{2t}) [/mm] $
also kann xh(t) auch so dargestellt werden:
[mm] xh(t)=\begin{pmatrix} c1*(e^t)+(1+t*c2)(e^t) \\ c1*(e^t)+(1+t*c2)(e^t)+c3(e^{2t}) \\ -(e^t)+c3(e^{2t}) \end{pmatrix}
[/mm]
für xp nehme ich wieder den gleichen Ansatz $ [mm] xp(t)=(e^{5t})\cdot{}\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix} [/mm] $
woraus folgt: $ [mm] -->xp'(t)=5\cdot{}(e^{5t})\cdot{}\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}=Axp+(e^{5t})\cdot{}b [/mm] $ --> $ [mm] (e^{5t})\cdot{}\begin{pmatrix} \blue{+}d2\blue{-}d3 \\-2d1+3d2-d3 \\ -d1+d2+d3 \end{pmatrix}+(e^{5t})\cdot{}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] $
nach dem Koeffizientenvergleich lautet der Vektor [mm] d=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] x(t)=xp(t)+xh(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}(e^{5t})+xh(t)
[/mm]
$ [mm] x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1+1 \\ c2 + 1 + c3 \\ -1 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
c1=-1 , c3=3, c2=-c3=-3
[mm] x(t)=\begin{pmatrix} -3*e^{t} \\-3e^{t}+3e^{2t} \\ -e^t+3e^{2t} \end{pmatrix} [/mm]
LG Scherzkrapferl
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Hallo scherzkrapferl,
>
> >
> > Der Hauptvektor h(1) muß lauten:
> >
> > [mm]\pmat{1 \\ 1 \\ \blue{-}1}[/mm]
> >
> > Sonst stimmt die homogene Lösung.
>
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> vielen Dank für die Korrektur. Habe es nochmal
> durchgerechnet und bin auch auf eine andere
> Partikulärlösung gekommen:
>
> homogene Lösung:
> [mm]xh(t)=c(1)\cdot{}(e^t)\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot{}c(1)\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})\cdot{}(e^t)+c(2)\cdot{}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot{}(e^{2t})[/mm]
>
> also kann xh(t) auch so dargestellt werden:
>
> [mm]xh(t)=\begin{pmatrix} c1*(e^t)+(1+t*c2)(e^t) \\ c1*(e^t)+(1+t*c2)(e^t)+c3(e^{2t}) \\ -(e^t)+c3(e^{2t}) \end{pmatrix}[/mm]
>
> für xp nehme ich wieder den gleichen Ansatz
> [mm]xp(t)=(e^{5t})\cdot{}\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> woraus folgt:
> [mm]-->xp'(t)=5\cdot{}(e^{5t})\cdot{}\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}=Axp+(e^{5t})\cdot{}b[/mm]
> --> [mm](e^{5t})\cdot{}\begin{pmatrix} \blue{+}d2\blue{-}d3 \\-2d1+3d2-d3 \\ -d1+d2+d3 \end{pmatrix}+(e^{5t})\cdot{}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> nach dem Koeffizientenvergleich lautet der Vektor
> [mm]d=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]x(t)=xp(t)+xh(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}(e^{5t})+xh(t)[/mm]
Die homogene Lösung muss doch lauten:
[mm]xh(t)=c(1)\cdot{}(e^t)\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c(2)*(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})\cdot{}(e^t)+c(3)\cdot{}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot{}(e^{2t})[/mm]
>
> [mm]x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1+1 \\ c2 + 1 + c3 \\ -1 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> c1=-1 , c3=3, c2=-c3=-3
>
> [mm]x(t)=\begin{pmatrix} -3*e^{t} \\-3e^{t}+3e^{2t} \\ -e^t+3e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
> LG Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
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Dann ist mein Skript eindeutig fehlerhaft :(
- danke
ist es richtig wenn ich nun davon ausgehe ?
$ [mm] x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1+c2 \\ c1 + c2 \\ -c2 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
Liebe Grüße
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Hallo scherzkrapferl,
> Dann ist mein Skript eindeutig fehlerhaft :(
> - danke
>
> ist es richtig wenn ich nun davon ausgehe ?
>
> [mm]x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1+c2 \\ c1 + c2 \\ -c2 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1+c2 \\ c1 + c2 \blue{+ \ c3}\\ -c2 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1+c2 \\ c1 + c2 \blue{+ \ c3}\\ -c2 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
c1=-c2
c1+c2+c3=1 --> c3=1
-c2+c3=2 --> c2=-1 -->c1=1
$ [mm] x(t)=\begin{pmatrix} t*e^{t} \\ e^{5t}+t*e^{t}+e^{2t} \\ e^{t}+e^{2t} \end{pmatrix} [/mm] $
Liebe Grüße
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Hallo scherzkrapferl,
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> >
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c1+c2 \\ c1 + c2 \blue{+ \ c3}\\ -c2 + c3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> c1=-c2
> c1+c2+c3=1 --> c3=1
Diese Gleichung muss doch lauten:
[mm]c1+c2+c3=\red{0}[/mm]
> -c2+c3=2 --> c2=-1 -->c1=1
>
> [mm]x(t)=\begin{pmatrix} t*e^{t} \\ e^{5t}+t*e^{t}+e^{2t} \\ e^{t}+e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Liebe Grüße
>
Gruss
MathePower
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> Diese Gleichung muss doch lauten:
>
> [mm]c1+c2+c3=\red{0}[/mm]
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> > -c2+c3=2 --> c2=-1 -->c1=1
> >
> > [mm]x(t)=\begin{pmatrix} t*e^{t} \\ e^{5t}+t*e^{t}+e^{2t} \\ e^{t}+e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Liebe Grüße
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
ich glaub ich hab's :D
$ [mm] x(t)=\begin{pmatrix} -2*t*e^{t} \\e^{5t}-2*t*e^{t} \\ 2e^{t} \end{pmatrix} [/mm] $
Vielen herzlichen Dank für deine Geduld!!
Lerne seit fast 9 Stunden am Stück, leider passieren da meine Fehler immer öfter :(
Liebe Grüße Scherzkrapferl
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Hallo scherzkrapferl,
> > Diese Gleichung muss doch lauten:
> >
> > [mm]c1+c2+c3=\red{0}[/mm]
> >
> >
> > > -c2+c3=2 --> c2=-1 -->c1=1
> > >
> > > [mm]x(t)=\begin{pmatrix} t*e^{t} \\ e^{5t}+t*e^{t}+e^{2t} \\ e^{t}+e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Liebe Grüße
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> ich glaub ich hab's :D
>
> [mm]x(t)=\begin{pmatrix} -2*t*e^{t} \\e^{5t}-2*t*e^{t} \\ 2e^{t} \end{pmatrix}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen herzlichen Dank für deine Geduld!!
> Lerne seit fast 9 Stunden am Stück, leider passieren da
Mach dazwischen drin öfters mal Pause.
> meine Fehler immer öfter :(
>
> Liebe Grüße Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
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Hallo scherzkrapferl,
> > Hallo scherzkrapferl,
> >
> > > bin jetzt so weit gekommen dass ich den Ansatz nehme:
> > >
> > > [mm]xp(t)=(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]-->xp'(t)=5*(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}=Axp+(e^{5t})*b[/mm]
> > > = [mm](e^{5t})*\begin{pmatrix} -d2+d3 \\-2d1+3d2-d3 \\ -d1+d2+d3 \end{pmatrix}+(e^{5t})*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > nun müsste ich ja einen Koeffizientenvergleich
> > > durchführen um d zu ermitteln damit ich anschließend
> > > x(t)=xh(t)+xp(t)=d*(e^(5t))+xh(t) zu ermitteln.
> > >
> > > Jedoch verstehe ich in diesem Fall den
> > > Koeffizientenvergleich nicht..
> >
> >
> > Teile uns mit, was Du daran nicht verstehst.
> >
> >
> > >
> > > LG Scherzkrapferl
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> ich verstehe nicht ganz wie ich nun durch
> Koeffizientenvergleich von
> [mm]-->xp'(t)=5*(e^{5t})*\begin{pmatrix} d1 \\ d2 \\ d3 \end{pmatrix}=Axp+(e^{5t})*b[/mm]
> > > = [mm](e^{5t})*\begin{pmatrix} -d2+d3 \\-2d1+3d2-d3 \\ -d1+d2+d3 \end{pmatrix}+(e^{5t})*\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> auf den Vektor d komme.
>
> wenn ich es richtig verstanden habe müsste d1=0 sein da ja
> in der ersten zeile d1 nicht vorkommt. in der 2. Zeile
> steht 5*d2=-2d1+d2-d3+2 --> also denke ich folgt dass d2=1
> sein muss da die gleichung 5*d2=d2+2 so am einfachsten zu
> lösen ist. wenn ich nun d2 und d1 in der letzten Zeile
> einsetze muss folgen: 5*d3=d3 also muss d3=0 sein.
>
> Bin mir jedoch nicht sicher ob dies simmt.
Vergleiche den Vektor links mit dem Vektor rechts.
Daraus ergibt sich dann ein LGS.
> LG Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
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Hallo scherzkrapferl,
> Berechnen sie die Lösung des dreidimensionalen linearen
> Systems von inhomogenen Differntialgleichungen:
> x'(t)=Ax(t)+(e^5t)b
>
> mit [mm]x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]A=\begin{pmatrix}
0 & -1 &1 \\ -2 & 3 & 1\\ -1&1&1\end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]b=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Bis jetzt habe ich berechnet:
>
> λ(1)=1 , n(1)=2, g(1)=1
> λ(2)=2 , n(2)=1, g(2)=1
>
> [mm]v(1)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]h(1)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]v(2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> die homogene Lösung [mm]xh(t)=c(1)*(e^t)*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+t*c(1)*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})*(e^t)+c(2)*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}*(e^{2t})[/mm]
Die Matrix
[mm]\begin{pmatrix} 0 & -1 &1 \\ -2 & 3 & 1\\ -1&1&1\end{pmatrix}[/mm]
hat 3 verschiedene Eigenwerte.
>
> Wie komme ich nun auf meine Partikulärlösung xp(t) ?
> müsste noch nach dem Prinzip xp(t)=X(T)*c funktionieren..
> komme jedoch auf keinen grünen Zweig :(
>
> LG Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
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wieso denn 3 ? habe es jetzt auch mit Wolframalpha nachgerechnet:
http://www.wolframalpha.com/input/?i={{0%2C1%2C-1}%2C{-2%2C3%2C-1}%2C{-1%2C1%2C1}}
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Hallo,
> wieso denn 3 ? habe es jetzt auch mit Wolframalpha
> nachgerechnet:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i={{0%2C1%2C-1}%2C{-2%2C3%2C-1}%2C{-1%2C1%2C1}}
Du hast bei Wolfram eine andere Matrix eingetippt als im Ausgangspost.
Hier: Eintrag [mm] $a_{23}=1$, [/mm] bei Wolfram hast du $-1$ eingetippt ...
Außerdem ist ein Dreher in Zeile 1 ...
Gruß
schachuzipus
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oh tut mir leid.. hab mich in der Angabe vertippt -.-' - mein Fehler! die Wolframalpha-Version ist die Richtige
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