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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Inhomogene Gleichungen
Inhomogene Gleichungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inhomogene Gleichungen: DGL
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:25 Mi 08.08.2018
Autor: Megan33

Aufgabe
Habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Finden Sie die allgemeine Lösung zu folgenden DGLen.

y′′+y= [mm] x*e^x [/mm]

Charakteristische Gleichung :

[mm] lambda^2 [/mm] +1 = 0

lambda 1 = -i
lambda2 = +i

komplexe Nullstellen also:

yp = [mm] c_1(x)*cos(ax) +c_2(x) [/mm] *sin(ax)

Soll ich das ableiten und dann einsetzen ?
Das Problem ist das sie in meiner Musterlösung irgendwie mit einer matrix gelöst haben?

Versteht ihr was die gemacht haben ?
Ich hänge mal ein Screenshot rein.

Bitte um Hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Inhomogene Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Mi 08.08.2018
Autor: leduart

Hallo
einfacher ist in diesem Fall ein Ansatz von Art der rechten Seite, also [mm] y_p=ae^x+b*x*e^x [/mm]
aber wenn du es mit Variation der Konstanten machst hast du ja c1 , c1' und c2 c2' , und damit ein Gleichungssystem, das man auch als Matrix   schreiben kann vec(c')=M*vec(c)  oder eben als Gleichungssystem c1'=ac1+bc2  c2'=dc1+ec2
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Inhomogene Gleichungen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:01 Mi 08.08.2018
Autor: Megan33

Ich versuche es erst mal so wie sie es in der Musterlösung haben ,danach können wir ja auch deinen Weg durch ziiehen:

[mm] y_p(x) = c_1(x)*cos(ax) +c_2(x)*sin(ax) [/mm]

[mm] y_p'(x) = c_1'(x)*cos(ax) -a*sin(ax)*c_1(x) +c_2'(x)*sin(ax)+a*cos(ax)*c_2(x) [/mm]

[mm] y_p''(x) = c_1''(x)*cos(ax) -a*sin(ax)*c_1'(x)-a^2*cos(ax)*c_1(x)-a*sin(ax)*c_1'(x)+c_2''(x)*sin(ax)+a*cos(ax)*c_2''(x)-a^2*sin(ax)*c_2(x)+a*cos(ax)*c_2'(x) [/mm]


Boah ich hoffe hier ist kein Fehler ?

Was soll ich denn genau als nächstes machen jetzt?


Bezug
        
Bezug
Inhomogene Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Do 09.08.2018
Autor: fred97


> Habe Probleme bei folgender Aufgabe:
>  Finden Sie die allgemeine Lösung zu folgenden DGLen.
>  
> y′′+y= [mm]x*e^x[/mm]
>  
> Charakteristische Gleichung :
>  
> [mm]lambda^2[/mm] +1 = 0
>  
> lambda 1 = -i
>  lambda2 = +i
>  
> komplexe Nullstellen also:
>  
> yp = [mm]c_1(x)*cos(ax) +c_2(x)[/mm] *sin(ax)
>  
> Soll ich das ableiten und dann einsetzen ?
>  Das Problem ist das sie in meiner Musterlösung irgendwie
> mit einer matrix gelöst haben?
>  
> Versteht ihr was die gemacht haben ?

Ja, es wurde die Differentialgleichung

$y''+y=  [mm] x\cdot{}e^x [/mm] $

in ein äquivalentes lineares System umgewandelt:

[mm] \vektor{y'(x) \\ z'(x)}=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }\vektor{y(x) \\ z(x)}+\vektor{0 \\ xe^x}. [/mm]



>  Ich hänge mal ein Screenshot rein.
>  
> Bitte um Hilfe
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Bezug
                
Bezug
Inhomogene Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:06 Do 09.08.2018
Autor: Megan33

Was wurde in der Lösung denn genau auf der rechten Seite gemacht ?

Soll ich jetzt die berecheten Ableitungen alle in dieGleichung einsetzen ?

Ist dies der Weg der Musterlösung ?

Oder haben die ein schnelleres Verfahren genutzt?

Bezug
                        
Bezug
Inhomogene Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Do 09.08.2018
Autor: leduart

Hallo
wie dir schon Fred erkärt hat wurde aus der Dgl 2 ten Grades ein Systen ersten grades gemacht,in dem man y'=z und y''=z' hatm dann hat man das System
y'=z
[mm] z'=-y+xe^x [/mm]
was dir fred mit der Matrix hingeschrieben hat. die Lösung des homogenen Systems hast du schon, die des inhomogenen machst du mit c1 und c2, dadurch hast du nur erste Ableitungen von [mm] c_i [/mm] und das System in den Lösungen.
mit deinem Ansatz bekommst du nur Beziehungen zwischen c'' und c' also nicht die form in der Lösung.
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Inhomogene Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Do 09.08.2018
Autor: Megan33

Was soll ich noch ableiten ?

Bezug
                
Bezug
Inhomogene Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Fr 10.08.2018
Autor: leduart

Hallo
hast du die letzten posts gelesen?, kannst du etwas mit einem System von Dgl. anfangen?
Du sollst nicht "noch was" ableiten, sondern das System behandeln.
(übrigend: das a in deinen Lösungen ist 1)
Gruß leduart

Bezug
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