Inhomogene lin. DGL 2.Ordn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mi 24.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeinen Lösungen.
y'' + y = 8 cos(x) * cos(2x) |
Die homogene Lösung habe ich:
[mm] f_h(x) [/mm] = C1 cos(x) + C1 sin(x)
Nun gibt es ja den Weg über den Ansatz der rechten Seite und den der Variation der Konstanten:
Ich bin hier nun über Variation der Konstanten gegangen:
Gibt es überhaupt eine Möglichkeit hier über den ansatz der rechten Seite zu gehen? Vielleicht wenn man cos(2x) umschreibt zu [mm] cos(x)^2 [/mm] - [mm] sin(x)^2? [/mm] Wie würde der Ansatz dann aussehen?
Habe nun M(x) = [mm] \pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -sin(x) & cos(x) }
[/mm]
[mm] M(x)^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ -\bruch{sin(x)^2}{cos(x)}& -sin(x) \\ sin(x) & cos(x) }
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Vielen vielen Dank
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Hallo zocca21,
> Bestimmen sie die allgemeinen Lösungen.
>
> y'' + y = 8 cos(x) * cos(2x)
> Die homogene Lösung habe ich:
>
> [mm]f_h(x)[/mm] = C1 cos(x) + C1 sin(x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun gibt es ja den Weg über den Ansatz der rechten Seite
> und den der Variation der Konstanten:
>
>
> Ich bin hier nun über Variation der Konstanten gegangen:
>
> Gibt es überhaupt eine Möglichkeit hier über den ansatz
> der rechten Seite zu gehen? Vielleicht wenn man cos(2x)
> umschreibt zu [mm]cos(x)^2[/mm] - [mm]sin(x)^2?[/mm] Wie würde der Ansatz
> dann aussehen?
Wandle die Störfunktion um in [mm]a*\cos\left(3x\right)+b*\cos\left(x\right)[/mm]
Dafür ist dann der Ansatz bekannt.
>
> Habe nun M(x) = [mm]\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -sin(x) & cos(x) }[/mm]
>
> [mm]M(x)^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ -\bruch{sin(x)^2}{cos(x)}& -sin(x) \\ sin(x) & cos(x) }[/mm]
Das stimmt leider nicht.
>
> Ist das soweit korrekt?
>
> Vielen vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Do 25.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ahh danke!!
Die Inverse muss lauten
[mm] M(x)^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ cos(x) & - sin(x) \\ sin(x) & cos(x) }
[/mm]
Hätte ich eigentlich auch zu Beginn schnell über die Determinante ... A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] und Inverse A = [mm] \pmat{ d & -b \\ -c & a } [/mm] * [mm] \bruch{1}{det(A)} [/mm] sehen können naja, vielleicht lern ich das ja noch ;)
Nun erhalte ich:
C'_1(x) = - sin(x) * 8 cos(x) * cos(2x)
Wie kann ich dass geschickt umschreiben?
Bei C'_2(x) habe ich denke ich eine geschickte Möglichkeit gefunden.
C'_2(x) = [mm] 8cos(x)^2 [/mm] * cos(2x) = [mm] 8cos(x)^2 [/mm] * (1- [mm] 2sin(x)^2) [/mm] = 8 [mm] cos(x)^2 [/mm] - 16 [mm] cos(x)^2 [/mm] * [mm] sin(x)^2
[/mm]
Zum Ansatz der rechten Seite: Wie kam die Umwandlung zustande?
Ansatz wäre dann: fp(x) = (a * cos(3x) + b * sin(x)) + (c *cos(x) + d * sin(x)) *x (da ja hier Resonanz herscht)
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Hallo zocca21,
> Ahh danke!!
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> Die Inverse muss lauten
>
> [mm]M(x)^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ cos(x) & - sin(x) \\ sin(x) & cos(x) }[/mm]
>
> Hätte ich eigentlich auch zu Beginn schnell über die
> Determinante ... A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und Inverse A
> = [mm]\pmat{ d & -b \\ -c & a }[/mm] * [mm]\bruch{1}{det(A)}[/mm] sehen
> können naja, vielleicht lern ich das ja noch ;)
>
> Nun erhalte ich:
>
> C'_1(x) = - sin(x) * 8 cos(x) * cos(2x)
>
> Wie kann ich dass geschickt umschreiben?
Zunächst ist [mm]\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right)[/mm] mittels
Additionstheorem umzuschreiben.
Im nächsten Schritt ist dann wiederum
ein Additionstheorem anzuwenden.
> Bei C'_2(x) habe ich denke ich eine geschickte
> Möglichkeit gefunden.
>
> C'_2(x) = [mm]8cos(x)^2[/mm] * cos(2x) = [mm]8cos(x)^2[/mm] * (1- [mm]2sin(x)^2)[/mm]
> = 8 [mm]cos(x)^2[/mm] - 16 [mm]cos(x)^2[/mm] * [mm]sin(x)^2[/mm]
>
> Zum Ansatz der rechten Seite: Wie kam die Umwandlung
> zustande?
>
Betrachte hier:
[mm]\cos\left(2x+x\right)=\cos\left(2x\right)*\cos\left(x\right)-\sin\left(2x\right)*\sin\left(x\right)[/mm]
[mm]\cos\left(2x-x\right)=\cos\left(2x\right)*\cos\left(x\right)+\sin\left(2x\right)*\sin\left(x\right)[/mm]
Addition liefert:
[mm]\cos\left(3x\right)+\cos\left(x\right)=2*\cos\left(2x\right)*\cos\left(x\right)[/mm]
Die rechte Seite lautet daher:
[mm]4*\cos\left(3x\right)+4*\cos\left(x\right)[/mm]
> Ansatz wäre dann: fp(x) = (a * cos(3x) + b * sin(x)) + (c
> *cos(x) + d * sin(x)) *x (da ja hier Resonanz herscht)
>
Gruss
MathePower
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