Injektiv/Surjektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | | Sind $A$,$B$ nichtleere, endliche Mengen mit gleich vielen Elementen (d.h. von gleicher Mächtigkeit), so ist eine Abbildung $A [mm] \to [/mm] B$ genau dann injektiv, wenn $f$ surjektiv ist. |
hallo
ich habe mich mal an dieser aufgabe versucht, weiß aber leider nicht ob das auch so richtig ist. hoffe das mir da jemand helfen kann
Rück-Richtung
$f$ surjektiv: [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A mit [mm] f^{-1}(b) [/mm] = a, da $|A| = |B|$ [mm] \Rightarrow [/mm] $f$ injektiv
Hin-Richtung
$f$ injektiv: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \exists! [/mm] b [mm] \in [/mm] B mit f(a) = b, da $|A| = |B|$ [mm] \Rightarrow [/mm] $f$ surjektiv
bin mir nicht sicher ob das wirklich langt um das verlangte zu zeigen und somit die aufgabe zu lösen.
danke schonmal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Hellfrog,
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> ich habe mich mal an dieser aufgabe versucht, weiß aber
> leider nicht ob das auch so richtig ist. hoffe das mir da
> jemand helfen kann
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> Rück-Richtung
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> [mm]f[/mm] surjektiv: [mm]\forall b\in B \exists a\in A mit f^{-1}(b)= a[/mm], da [mm]|A| = |B|[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f[/mm] injektiv
[mm] $f^{-1}$ [/mm] ist nur definiert, wenn $f$ bijektiv ist. Hier hast Du also die Behauptung vorausgesetzt.
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> Hin-Richtung
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> [mm]f[/mm] injektiv: [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\exists![/mm] b [mm]\in[/mm] B mit f(a) = b,
> da [mm]|A| = |B|[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f[/mm] surjektiv
Ich sehe noch nicht, wie Du jeweils aus $|A|=|B|$ die Behauptung folgerst.
Dies müßte man wohl näher erläutern, gestützt auf Definitionen und Sätzen Eurer Vorlesung.
Vielleicht kannst Du für die Hinrichtung so argumentieren:
Ist $f$ injektiv, so ist die Abbildung [mm] $g\colon A\to [/mm] f(A),\ [mm] x\mapsto [/mm] f(x)$ bijektiv, d. h. $|A|=|f(A)|$. Wäre $f$ nicht surjektiv, so wäre $f(A)$ eine echte Teilmenge von $B$, also $|A|< |B|$ im Widerspruch zur Voraussetzung.
Gruß,
Wolfgang
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