Injektiv Surjektiv < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich versuche gerade zur Übung eine Aufgaben zu der Injektivität und Surjektivität von Abbildungen zu lösen. Könnt ihr mir da helfen?
Es seien X,Y 2 Mengen und f: X-->Y und g: Y-->X Es gelte (g o f)(x)=für alle x gilt: x Element von x
beweise oder wiederlege:
1. f ist injektiv:
2. f ist surjektiv
3. g ist injektiv
4. g ist surjektiv
5. Es gilt (g o f ) (y)= (y) für alle y Element aus Y.
( Was bedeutet die Formulierung von 5.?)
|
|
| |
|
> Ich versuche gerade zur Übung eine Aufgaben zu der
> Injektivität und Surjektivität von Abbildungen zu lösen.
> Könnt ihr mir da helfen?
> Es seien X,Y 2 Mengen und f: X-->Y und g: Y-->X Es gelte
> (g o f)(x)=für alle x gilt: x Element von x
>
> beweise oder wiederlege:
> 1. f ist injektiv:
> 2. f ist surjektiv
> 3. g ist injektiv
> 4. g ist surjektiv
> 5. Es gilt [mm] (\red{g o f} [/mm] ) (y)= (y) für alle y Element aus Y.
> ( Was bedeutet die Formulierung von 5.?)
Die Formulierung von 5 muss sicherlich heißen:
5. Es gilt (f o g ) (y)= (y) für alle y Element aus Y. (f und g vertauschen)
Tipp:
Mach dir ein einfaches, allgemeines Mengendiagramm für X und Y mit Pfeilen für f. Wähle dabei Beispiele für f injektiv, surjektiv, beides oder gar nichts davon. Überlege dir, wie dann die Pfeile für g jeweils aussehen müssen.
|
|
|
| |
|
Kann ich die Injektivität und die Surjektivität der beiden Abbildungen begründen indem ich sage das jede Abbildung die eine Umkehrabbildung besitzt auch injektiv und surjektiv ist?
denn f(hoch minus 1)= Y-->X ?
Wie kann ich 5. verstehen und begründen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Fr 01.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Kann ich die Injektivität und die Surjektivität der
> beiden Abbildungen begründen indem ich sage das jede
> Abbildung die eine Umkehrabbildung besitzt auch injektiv
> und surjektiv ist?
> denn f(hoch minus 1)= Y-->X ?
Du musst aber zeigen, dass es eine Eindeutige Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] gibt, dann ist f bijektiv.
Beispiel:
[mm] f:\IR\to\IR^{+}
[/mm]
[mm] x\mapsto x^{2}
[/mm]
Aber aus [mm] y=x^{2} [/mm] folgt, dass [mm] y=\pm\sqrt{x} [/mm] Daher gibt es keine eindeutige Umkehrfunktion, die den kompletten Definitionsbereich von f trifft.
Schränkst du den Definitonsbereich von f aber auf [mm] \IR^{+} [/mm] ein, ist f dann bijektiv, da bekommst du:
[mm] f^{-1}:\IR^{+}\to\IR^{+}
[/mm]
[mm] x\mapsto\sqrt{x}
[/mm]
> Wie kann ich 5. verstehen und begründen?
Was bedeutet es denn, wenn [mm] $(g\circ f)(y)=y=id_{Y}(y)$?
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
kannst du mir einen Ansatz geben wie ich beweise das es eine Eindeutige Umkehrabbildung gibt?
2. das bedeutet doch das f bijektiv ist oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 01.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> kannst du mir einen Ansatz geben wie ich beweise das es
> eine Eindeutige Umkehrabbildung gibt?
>
> 2. das bedeutet doch das f bijektiv ist oder?
Aus (g o f)(x)=für alle x folgt nur : f ist injektiv und g ist surjektiv.
Zeige das.
Zeige an geeigneten Beispielen, dass f nicht surjektiv seinmuss und g nicht injektiv sein muss.
FRED
|
|
|
| |
|
okay. dann werde ich mir jetzt einige Beispiele raussuchen. kannst du mir nur kurz sagen wie du darauf kommst das f injektiv und g surjektiv ist? Ich kann versteh dies irgendwie nicht in Verbindung mit (go f)(x)=für alle x gilt: x Element von x . kannst du mir dies kurz erläutern?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 01.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay. dann werde ich mir jetzt einige Beispiele raussuchen.
> kannst du mir nur kurz sagen wie du darauf kommst das f
> injektiv und g surjektiv ist? Ich kann versteh dies
> irgendwie nicht in Verbindung mit (go f)(x)=für alle x
> gilt: x Element von x . kannst du mir dies kurz
> erläutern?
> LG
Mal dir mal als Idee die "Pfeildiagramme" auf.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Lasse f von der roten Menge in die grüne Menge abbilden, und g von grün nach rot.
Formuliere das nun mathematisch korrekt.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
okay. also in meine eigenen Worten würde ich sagen das (go f)(x)=für alle x gilt: x Element von x bedeutet: wenn ich von f über g gehe kommt wieder der gleiche Wert raus. Das bedeutet doch idx oder?also ist es eine Identitäsabbildung. und das jeder rote Punkt aus f einen grünen Punkt als Abbild hat würde ich mit dieser Formulierung begründen. stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 03.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Fr 01.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> okay. dann werde ich mir jetzt einige Beispiele raussuchen.
> kannst du mir nur kurz sagen wie du darauf kommst das f
> injektiv und g surjektiv ist? Ich kann versteh dies
> irgendwie nicht in Verbindung mit (go f)(x)=für alle x
> gilt: x Element von x . kannst du mir dies kurz
> erläutern?
> LG
f injektiv: seien [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X und [mm] f(x_1)=f(x_2).
[/mm]
Dann [mm] x_1=g(f(x_1))=g(f(x_2))=x_2.
[/mm]
g surjektiv:
X=g(f(X)) [mm] \subseteq [/mm] g(Y) [mm] \subseteq [/mm] X.
FRED
|
|
|
|
