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| Aufgabe | fi : R → R Welche dieser Funktionen sind injektiv, welche sind surjektiv?
f1(x) = 3x + 1
f2(x) = x + 2 sin(x)
f3(x) = 2x + sin(x)
f4(x) = x + sin(x)
f5(x) = [mm] x^3 [/mm] + 3x
f6(x) = [mm] x^3 [/mm] − 3x
f7(x) = [mm] x^4 [/mm] − [mm] 3x^2 [/mm] + 3x + 1 |
Hey,
ich muss diese Aufgabe bearbeiten und habe keine Ahnung wie ich das machen soll. Wäre echt super, wenn mir jemand weiterhelfen kann. Eine Abb. ist injektiv, wenn die Urbilder gleich sind und surjektiv, wenn jedes Element aus der Zielmenge getroffen wird. Ich weiß jedoch nicht, wie ich das auf diese Aufgabe anwenden soll.
LG
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Injektivität bedeutet nicht Gleichheit der Urbilder, sondern, dass Gleichheit der Bilder genau dann besteht, wenn die Urbilder gleich sind, d.h.
[mm] \[f(x)=f(y)\gdw x=y\]
[/mm]
Um Injektivität zu zeigen, machst du genau das. Wenn bei zwei verschiedenen Werten das gleiche rauß kommt, dann ist die Abbildung nicht injektiv (vgl. [mm] $x^{2}$).
[/mm]
Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem Bild ein Urbild gibt, d.h.
[mm] \[f(x)=y \forall y\]
[/mm]
Man betrachtet also die Funktion und schaut, ob tatsächlich alle Werte getroffen werden.
BSP. [mm] \[f(x)=3x+1\]
[/mm]
Aus [mm] \[3x+1=3y+1\] [/mm] folgt schon [mm] \[x=y\], [/mm] also ist die Funktion injektiv.
Betrachtet man [mm] \[3x+1=y\], [/mm] so gibt es tatsächlich zu jedem $y$ ein $x$, also besteht auch Surjektivität.
Um diese Eigenschaften zu zeigen, muss man sie für alle $x$ und $y$ zeigen, um sie zu widerlegen genügt ein eiziges Beispiel.
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Danke dir, aber irgendwie kann ich das auf die nächsten Bsple nicht übertragen.
Wäre dann f2 auch inj und surj?
x+2sin(x) ist doch ungleich y+2sin(y) bei verschiedenen Werten und für x+2sin(x)=y gibt es ein bestimmtes y oder? Habe ich das richtig verstanden?
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> Danke dir, aber irgendwie kann ich das auf die nächsten
> Bsple nicht übertragen.
> Wäre dann f2 auch inj und surj?
Hallo,
irgendwie wär's ganz nett für die Antwortenden, wenn Du nochmal schreiben würdest, was [mm] f_2 [/mm] ist, damit man nicht klicken muß.
Es geht also um [mm] f_2(x):=x+2\sin(x), [/mm] betrachtet als Funktion aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR.
[/mm]
> x+2sin(x) ist doch ungleich y+2sin(y) bei verschiedenen
> Werten
Plotte Dir die Funktion mal, und entscheide zunächst nach Augenschein, ob sie injektiv ist. Gibt es Stellen, die denselben Funktionswert haben?
Und surjektiv? Wird jede reelle Zahl als Funktionswert angenommen?
Mir ist nicht klar, ob die Aufgabe so gedacht ist, daß Ihr die Erkenntnisse aus dem Graphen nehmen sollt, oder ob Ihr wirklich rechnen sollt.
Stehen schon Kenntnisse aus der Analysis zur Verfügung? Ableiten etc. könnt und dürft ihr?
> und für x+2sin(x)=y gibt es ein bestimmtes y oder?
Nun, daß es "ein bestimmtes y" gibt, steht hier nicht zur Debatte, sonst wäre [mm] f_2 [/mm] nämlich keine Funktion. Die Frage bei der Surjektivität ais eine andere: gibt es zu jedem [mm] y\in \IR [/mm] ein passendens x, so daß [mm] f_2(x)=y.
[/mm]
LG Angela
> Habe ich das richtig verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Do 26.04.2012 | | Autor: | xxela89xx |
Danke, ich versuche es zu lösen.
LG
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