Injektivität bei einer Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Abbildung f: [mm] R^4 \to R^4, [/mm] v [mm] \to [/mm] A v mit der Matrix
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 3}
[/mm]
Gegeben sind weiterhin die Vektoren
a= [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\1}, b=\pmat{ 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1} [/mm] und [mm] c=\pmat{ 4 \\ 4 \\ 4 \\ 4}
[/mm]
a) Berechnen Sie f(a) und begründen Sie, dass b im Kern von f liegt. Ist f injektiv?
b) Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern und Bild der linearen Abbildung f.
c) Bestimmen Sie die Basen des Kerns und des Bildes von f.
d) Bestimmen Sie die Menge L aller v [mm] \in R^4 [/mm] mit f(v)=c |
a) f(a) ist ja einfach wieder der Vektor c. Und da f(b)= [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Also ist b ja der Kern. Aber wie beweise ich, dass injektiv oder nicht injektiv ist bei der Matrix?
b) Kann ich bei der Bestimmung vom Kern das Gleichungssyste einfach 0 setzen?
|
|
| |
|
Bei einer injektiven linearen Abbildung darf nur 0 im Kern liegen, also ist die Abbildung nicht injektiv, da b ja bereits im Kern liegt und ungleich 0 ist.
Nun habe ich die Matrix in Zeilenstufenform gebracht und bin auf
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 6 & -6 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
gekommen, wenn ich keinen Fehler gemacht habe.
Damit wäre
[mm] x_1= \lambda
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_3= \lambda
[/mm]
[mm] x_4=(-2/3) \lambda
[/mm]
Wäre das schon mal richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Bei einer injektiven linearen Abbildung darf nur 0 im Kern
> liegen, also ist die Abbildung nicht injektiv, da b ja
> bereits im Kern liegt und ungleich 0 ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ganz genau!
>
> Nun habe ich die Matrix in Zeilenstufenform gebracht und
> bin auf
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 6 & -6 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> gekommen, wenn ich keinen Fehler gemacht habe.
>
> Damit wäre
>
> [mm]x_1= \lambda[/mm]
> [mm]x_2=0[/mm]
> [mm]x_3= \lambda[/mm]
> [mm]x_4=(-2/3) \lambda[/mm]
>
> Wäre das schon mal richtig?
Nein, da hast du dich irgendwo verrechnet, denn der Vektor b liegt nicht in deinem ausgerechneten Kern, sollte es aber.
Ich komme auf folgende ZSF
[mm] $\pmat{3&1&1&-1\\0&2&-1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0}$
[/mm]
Und die zugehörige Lösungsmenge enthält den Vektor b
Rechne also nochmal nach und poste deine Rechenschritte, wenn's nicht klappen sollte ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Gut, auf die Matrix bin ich jetzt auch gekommen, aber ich glaube, dass das mit der Lösungsmenge nicht mehr so ganz klappt.
I [mm] 3x_1 +x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] = 0
II [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
III [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
IV 0 [mm] x_4 [/mm] = 0
Nun ist [mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Setze ich [mm] x_4 [/mm] in III ein, so komme ich auf
III [mm] x_3 [/mm] = [mm] -\lambda
[/mm]
Bei II
[mm] 2x_2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] = - [mm] \lambda
[/mm]
Und bei I
[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] 3x_1 [/mm] = [mm] \lambda [/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Wäre das als Lösungsmenge für den Kern korrekt? b wäre ja enthalten, wenn man [mm] \lambda=1 [/mm] einsetzt.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Gut, auf die Matrix bin ich jetzt auch gekommen, aber ich
> glaube, dass das mit der Lösungsmenge nicht mehr so ganz
> klappt.
>
> I [mm]3x_1 +x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] - [mm]x_4[/mm] = 0
> II [mm]2x_2[/mm] - [mm]x_3[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> III [mm]x_3[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> IV 0 [mm]x_4[/mm] = 0
>
> Nun ist [mm]x_4[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> Setze ich [mm]x_4[/mm] in III ein, so komme ich auf
> III [mm]x_3[/mm] = [mm]-\lambda[/mm]
>
> Bei II
> [mm]2x_2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] + [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] = - [mm]\lambda[/mm]
>
> Und bei I
> [mm]3x_1[/mm] - [mm]\lambda[/mm] - [mm]\lambda[/mm] - [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]3x_1[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\lambda[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
sehr gut!
>
> Wäre das als Lösungsmenge für den Kern korrekt? b wäre ja
> enthalten, wenn man [mm]\lambda=1[/mm] einsetzt.
Nun, jeder Vektor aus dem Kern ist darstellbar als [mm] $\vektor{\lambda\\-\lambda\\-\lambda\\\lambda}$ [/mm] mit [mm] $\lambda\in\IR$
[/mm]
dh. eine Basis des Kernes ist zB. [mm] $\vektor{1\\-1\\-1\\1}$ [/mm] und [mm] $Kern(A)=\left\langle\vektor{1\\-1\\-1\\1}\right\rangle$
[/mm]
Also ist der Kern hier ein eindim. Unterraum des [mm] $\IR^4$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Gut, super. Dann zum nächsten.
b) Dimension des Kerns ist ja 1, da die Basis ja nur aus dem einen Vektor besteht. Und die Dimension des Raums ist 3, da man das ja bei der Zeilenstufenform erkannt hat.
c) Basis des Kerns hast du ja eben schon genannt, das ist ja nun klar. Als Basis des Raums könnte man ja die ersten drei Spalten der Matrix nehmen, da der Raum ja 3 Dimensionen hat und die 4. Spalte dadurch darstellbar ist. Ich hab's jetzt bei der Aufgabe durch Ausprobieren hingekriegt, aber könnte man die Basis beim Raum auch noch anders rauskriegen?
d) Kann man hier wieder ein LGS machen und hinten überall =4 setzen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Gut, super. Dann zum nächsten.
>
> b) Dimension des Kerns ist ja 1, da die Basis ja nur aus
> dem einen Vektor besteht. Und die Dimension des Raums Bildes ist
> 3, da man das ja bei der Zeilenstufenform erkannt hat.
Ja, $Rang(A)=dim(Bild(A))$
>
> c) Basis des Kerns hast du ja eben schon genannt, das ist
> ja nun klar. Als Basis des Raums Bildes könnte man ja die ersten
> drei Spalten der Matrix nehmen, da der Raum ja 3 Dimensionen die Dimension 3 hat
Jeder Vektorraum hat genau eine Dimension, die ist für das Bild halt 3
> und die 4. Spalte dadurch darstellbar ist.
> Ich hab's jetzt bei der Aufgabe durch Ausprobieren
> hingekriegt, aber könnte man die Basis beim Raum auch noch
> anders rauskriegen?
Du kannst an der ZSF ablesen, welche Spalten du nehmen kannst.
Angela hat dazu hier im Forum schon 100fach was geschrieben ...
>
> d) Kann man hier wieder ein LGS machen und hinten überall
> =4 setzen?
Wie genau meinst du das? Dass der Vektor c im Bild liegt (als Funktionswert f(a)) ist bereits geklärt, die Frage ist, gibt's noch mehr Vektoren, die auf c abgebildet werden, kann ja sein, da die Abb. nicht injektiv ist ...
LG
schachuzipus
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
