Injektivität beweisen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung. Zeige:
$f$ ist injektiv [mm] $\Leftrightarrow f^{-1}$ [/mm] ist partielle Abbildung |
Hallo zusammen, ich habe die obige Aufgabe zu zeigen. Leider habe ich noch nicht viel Erfahrung damit und wollte euch mal fragen ob mein Ansatz was taugt. Danke schon mal!
Mein Ansatz:
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Annahme: $f$ sei injektiv, so gilt für [mm] $x,\tilde{x}\in [/mm] X:$
[mm] $f(x)=f(\tilde{x})\Rightarrow x=\tilde{x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] X [mm] \subseteq f^{-1}(Y)$ [/mm] dies folgt unmittelbar aus der Definition der Injektivität
[mm] $\Rightarrow f(X)\subseteq [/mm] Y$
[mm] $\Rightarrow f^{-1}(y)$ [/mm] für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ ist eine partielle Abbildung
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Annahme: [mm] $f^{-1}$ [/mm] mit [mm] $f^{-1}:Y \to [/mm] X$ sei eine partielle Abbildung, so gilt [mm] $\forall\: y,\tilde{y}\in [/mm] Y :$
[mm] $f^{-1}(y)=f^{-1}(\tilde{y})\Rightarrow y=\tilde{y}$
[/mm]
wegen [mm] $f^{-1} \hat{=} [/mm] R$ und $R [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \times [/mm] X$ und $ [mm] |R(y)|\leq [/mm] 1$ für alle $ [mm] y\in [/mm] Y$
wobei [mm] $R(y)=\lbrace x\in [/mm] X| [mm] yRx\rbrace$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] f(x)$ ist injektiv für alle [mm] $x\in [/mm] X$
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Proposition,
> Sei [mm]f:X \to Y[/mm] eine Abbildung. Zeige:
> [mm]f[/mm] ist injektiv [mm]\Leftrightarrow f^{-1}[/mm] ist partielle
> Abbildung
> Hallo zusammen, ich habe die obige Aufgabe zu zeigen.
> Leider habe ich noch nicht viel Erfahrung damit und wollte
> euch mal fragen ob mein Ansatz was taugt. Danke schon mal!
>
> Mein Ansatz:
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>
> Annahme: [mm]f[/mm] sei injektiv, so gilt für [mm]x,\tilde{x}\in X:[/mm]
>
> [mm]f(x)=f(\tilde{x})\Rightarrow x=\tilde{x}[/mm]
> [mm]\Rightarrow X \subseteq f^{-1}(Y)[/mm]
> dies folgt unmittelbar aus der Definition der
> Injektivität
Dies gilt für jede Abbildung $f$, nicht nur für injektive. Es ist sogar [mm] $X=f^{-1} (Y)\;.$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(X)\subseteq Y[/mm]
Auch dies gilt für jedes [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$.
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(y)[/mm] für
> alle [mm]y\in Y[/mm] ist eine partielle Abbildung
So, und da fehlt jetzt die Begründung. Bis hierher hast Du die Injektivität noch gar nicht benutzt, obwohl Du so getan hast.
Mit Deinem Beweis der anderen Richtung bin ich voll einverstanden!
Gruß,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang, danke erstmal für deine Hilfe.
Könnte ich denn folgendermaßen argumentieren:
da $f$ injektiv [mm] $\Rightarrow \forall [/mm] x, [mm] \tilde{x} \in [/mm] X : f(x)= [mm] f(\tilde{x}) \Rightarrow x=\tilde{x}$
[/mm]
also gelte analog [mm] $f^{-1}(f(x)) =\hat{x}=f^{-1}(f(\tilde{x}))$ [/mm] mit [mm] $\hat{x}\in [/mm] X$
desweiteren gelte $|X| [mm] \leq [/mm] |Y|$ wegen der Injektivität, deshalb kann [mm] $\hat{y}\in [/mm] Y$ ex. so dass [mm] $f^{-1}(\hat{y})\notin [/mm] X$
was zeigt, dass $f$ nicht surjektiv ist und somit auch nicht bijektiv.
[mm] $\Rightarrow f^{-1}$ [/mm] ist eine partielle Abbildung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Fr 12.10.2012 | | Autor: | hippias |
Ich habe den Eindruck, dass hierbei eine gewisse Unklarheit herrscht, was eine (partielle) Abbildung ist. Ich vermute partielle Abbildung $f$ von $A$ in $B$ wurde definiert als Menge von Paaren $(a,b)$ mit [mm] $a\in [/mm] A$, [mm] $b\in [/mm] B$ mit folgenden Eigenschaften:
1. Fuer alle $(a,b), [mm] (a',b')\in [/mm] f$ gilt: Wenn $a= a'$, dann ist $b= b'$.
Ist zusaetzlich
2. Fuer alle [mm] $a\in [/mm] A$ existiert [mm] $b\in [/mm] B$ mit [mm] $(a,b)\in [/mm] f$
erfuellt, so ist $f$ eine Abbildung von $A$ in $B$.
Nun macht es Sinn zu fragen, ob [mm] $f^{-1}:= \{(b,a)|(a,b)\in f\}$ [/mm] eine partielle Abbildung ist. Die Injektivitaet von $f$ stellt naemlich sicher, dass [mm] $f^{-1}$ [/mm] die Eigenschaft 1 hat.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Fr 12.10.2012 | | Autor: | fred97 |
"g:A [mm] \to [/mm] B ist eine partielle Abbildung" bedeutet:
der Def.-Bereich von g muß nicht ganz A sein, sondern darf auch eine (echte) Teilmenge von A sein.
So halten es zumindest die Informatiker.
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:20 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Proposition |
> Ich habe den Eindruck, dass hierbei eine gewisse Unklarheit
> herrscht, was eine (partielle) Abbildung ist. Ich vermute
> partielle Abbildung [mm]f[/mm] von [mm]A[/mm] in [mm]B[/mm] wurde definiert als Menge
> von Paaren [mm](a,b)[/mm] mit [mm]a\in A[/mm], [mm]b\in B[/mm] mit folgenden
> Eigenschaften:
>
Also in der Vorlesung wurde bei uns eine partielle Abbildung folgendermaßen definiert:
$X, Y$ nichtleere Mengen, $R [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] Y$ Relation, für $x [mm] \in [/mm] X$ bezeichne [mm] $R(x)=\{y\in Y | xRy\}$
[/mm]
- R heißt partielle Abbildung, falls [mm] $|R(x)|\leq [/mm] 1$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$
das habe ich ja auch im Teil [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] beachtet.
> 1. Fuer alle [mm](a,b), (a',b')\in f[/mm] gilt: Wenn [mm]a= a'[/mm], dann ist
> [mm]b= b'[/mm].
>
> Ist zusaetzlich
> 2. Fuer alle [mm]a\in A[/mm] existiert [mm]b\in B[/mm] mit [mm](a,b)\in f[/mm]
>
> erfuellt, so ist [mm]f[/mm] eine Abbildung von [mm]A[/mm] in [mm]B[/mm].
>
> Nun macht es Sinn zu fragen, ob [mm]f^{-1}:= \{(b,a)|(a,b)\in f\}[/mm]
> eine partielle Abbildung ist. Die Injektivitaet von [mm]f[/mm]
> stellt naemlich sicher, dass [mm]f^{-1}[/mm] die Eigenschaft 1 hat.
Okay, könnte ich dann wegen der Injektivität annehmen, dass Urbildbereich $dom(f) := [mm] \{a \in A : |f(a)|=1\}$ [/mm] und der Bildbereich [mm] $im(f)=\{ b\in B : |f^{-1}(b)|\leq 1 \}$ [/mm] und daraus folgt, dass fuer die Umkehrfunktion Urbildbereich und Bildbereich ja vertauscht werden und somit [mm] $f^{-1}$ [/mm] eine partielle Abbildung sein muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich habe den Eindruck, dass hierbei eine gewisse Unklarheit
> > herrscht, was eine (partielle) Abbildung ist. Ich vermute
> > partielle Abbildung [mm]f[/mm] von [mm]A[/mm] in [mm]B[/mm] wurde definiert als Menge
> > von Paaren [mm](a,b)[/mm] mit [mm]a\in A[/mm], [mm]b\in B[/mm] mit folgenden
> > Eigenschaften:
> >
>
> Also in der Vorlesung wurde bei uns eine partielle
> Abbildung folgendermaßen definiert:
>
> [mm]X, Y[/mm] nichtleere Mengen, [mm]R \subseteq X \times Y[/mm] Relation,
> für [mm]x \in X[/mm] bezeichne [mm]R(x)=\{y\in Y | xRy\}[/mm]
> - R heißt
> partielle Abbildung, falls [mm]|R(x)|\leq 1[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
bevor wir hier nun weitermachen, wäre es nun sinnvoll, wenn Du uns mal
alle für die Aufgabe notwendigen Definitionen, die Euch bereitgestellt
worden sind, aufzählst:
1.) Wie wurde "Abbildung" (also ohne das "partielle") definiert?
Vielleicht, wenn vorher "partielle Abbildung" (die Definition kennen wir ja
nun) definiert worden ist, dann so:
Sei $R [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] Y$ partielle Abbildung. Wenn [mm] $|R(x)|\,$ [/mm] (erwähnenswert: [mm] $R(x)\,$ [/mm] ist hier eine MENGE!) nun erfüllt:
[mm] $|R(x)|=1\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in X\,,$ [/mm] dann heißt [mm] $R\,$ [/mm] (auch) einfach nur
Abbildung?
[mm] $\text{(}$Und [/mm] dann induziert eine partielle Abbildung
$R [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] Y$ eine Abbildung [mm] $\tilde{R} \subseteq \tilde{X} \times Y\,,$ [/mm] indem man [mm] $\tilde{R} \subseteq [/mm] R$ definiert durch
[mm] $$\tilde{R}:=\{(x,y) \in X \times Y: (x,y) \in R\}=\{(x,y): x \in \tilde{X} \text{ und }y \in R(x)\}$$
[/mm]
mit [mm] $\tilde{X}:=\{x \in X: \exists y \in Y: (x,y) \in R\}\, \text{?)}$
[/mm]
2.) Wurde so [mm] $\text{dom}(R)$ [/mm] definiert: [mm] $\text{dom}(R):=\{x \in X: |R(x)|=1\}$ [/mm] heißt Definitionsbereich
einer partiellen Abbildung [mm] $R\,$?
[/mm]
Dann wäre oben [mm] $\text{dom}(R)=\tilde{X}$ [/mm] der Definitionsbereich
der partiellen Abbildung [mm] $R\,,$ [/mm] und insbesondere der Definitionsbereich
der Abbildung [mm] $\tilde{R}\,.$ [/mm] Mir ist zwar klar, dass anscheinend
[mm] $$\text{dom}(R):=\{x \in X: \exists_1 \in Y: (x,y) \in R\}\,,$$
[/mm]
aber mir ist unklar, wie man nun dom(R) bezeichnet: Meines Erachtens
nach wäre es sinnvoll, für eine partielle Relation R dann dom(R) den
Definitionsbereich der durch R induzierten Relation zu nennen!
3.) Wie habt ihr [mm] $\text{im}(f)$ [/mm] definiert: So?:
Ist $f [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] Y$ partielle Abbildung, dann ist
[mm] $\text{im}(f):=\{y \in Y: \exists x \in X: (x,y) \in f\}$?
[/mm]
4.) Wie habt ihr [mm] $f^{-1} \subseteq [/mm] Y [mm] \times [/mm] X$ definiert? Das ist mir
nämlich nicht so ganz klar.
Ich denke, diese ganzen Fragen müssen mal komplett geklärt werden,
sonst reden wir teilweise aneinander vorbei.
Aber nun doch zur Aufgabe: Sei [mm] $f\,$ [/mm] injektiv. Wir betrachten
[mm] $$f^{-1}:=\{(y,x): (x,y) \in f\}\,.$$
[/mm]
Dann ist sicher [mm] $f^{-1} \subseteq [/mm] Y [mm] \times [/mm] X$ klar. Sei nun $y [mm] \in Y\,$
[/mm]
irgendein Element. Wir haben zu zeigen, dass [mm] $|f^{-1}(y)| \le [/mm] 1$ gilt.
1. Fall: Ist [mm] $f^{-1}(y)=\emptyset\,,$ [/mm] so sind wir fertig. (Da [mm] $|\emptyset|=0 \le 1\,.$)
[/mm]
2. Fall: Wir haben zu zeigen: Ist [mm] $f^{-1}(y) \not= \emptyset\,,$ [/mm] so ist
[mm] $|f^{-1}(y)|=1\,.$ [/mm] Angenommen, das wäre nicht so. Dann gibt es
[mm] $x,x\,' \in [/mm] X$ mit [mm] $x\not=x\,'$ [/mm] und $(x,y) [mm] \in [/mm] f$ und [mm] $(x\,',y) \in f\,.$ [/mm]
Denke jetzt an die Injektivität, und Du erhältst einen Widerspruch.
Nun umgekehrt:
Sei [mm] $f^{-1}:=\{(y,x): (x,y) \in X \times Y\}$ [/mm] eine partielle Abbildung. Klar
ist wieder [mm] $f^{-1} \subseteq [/mm] Y [mm] \times X\,.$ [/mm] Wir wollen nun zeigen, dass
[mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist: Seien $x, [mm] x\,' \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=f(x\,')\,.$ [/mm] (Jetzt sehen wir
allerdings etwas blödsinniges: Hier bezeichnet nämlich nun [mm] $f(x)\,$ [/mm] das
[mm] $y\,,$ [/mm] für das $(x,y) [mm] \in f\,.$ [/mm] Eigentlich war aber [mm] $f(x):=\{y \in Y: (x,y) \in f\}\,,$ [/mm] und für $x [mm] \not=x\,'$ [/mm]
beide in [mm] $X\,$ [/mm] könnte nichtsdestotrotz
[mm] $\{y \in Y: (x,y) \in f\}=f(x)=f(x\,')=\{y \in Y: (x\,',y) \in f\}=\emptyset$
[/mm]
gelten! D.h., wenn man Injektivität über [mm] $f(x)=f(x\,') \Rightarrow x=x\,'$
[/mm]
definieren wollte - wenn [mm] $f(x):=\{y \in Y: (x,y) \in f\}$, [/mm] dann müsste man
diese Folgerung auf jene $x [mm] \in [/mm] X$ mit $|f(x)|=1$ beschränken!)
Gelte nun also [mm] $f(x)=f(x\,')$ [/mm] - wobei wir die Funktionswerte, also Elemente
aus [mm] $Y\,,$ [/mm] hier meinen - oder vergessen wir dieses wegen der Gefahr von
Notationswirrwarr und sagen besser:
Es gelte $(x,y) [mm] \in [/mm] f$ und auch [mm] $(x\,',y) \in f\,,$ [/mm] und dann müssen wir [mm] $x=x\,'$ [/mm] folgern.
Wegen $(x,y) [mm] \in [/mm] f$ und [mm] $(x\,',y) \in [/mm] f$ ist sicher
sowohl $(y,x) [mm] \in f^{-1}$ [/mm] als auch [mm] $(y,x\,') \in f^{-1}\,.$ [/mm] Nun ist aber
[mm] $f^{-1}$ [/mm] nach Voraussetzung hier eine partielle Abbildung!
P.S.
Mal ein Beispiel:
Setze [mm] $X:=\IR$ [/mm] und [mm] $Y:=[-1,\infty)$ [/mm] und definiere [mm] $R:=\{(x,y) \in X \times Y: x \le 0 \text{ und }y:=-x=|x|\}\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $R\,$ [/mm] eine partielle Abbildung, denn es gilt [mm] $|R(x)|=1\,$ [/mm] für alle
$x [mm] \le [/mm] 0$ und es gilt [mm] $R(x)=0\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{r \in \IR: r \le 0\}=(0,\infty)\,.$ [/mm] Offenbar ist [mm] $R\,$ [/mm] injektiv. Dennoch gilt für die (folgenden)
Mengen [mm] $R(1)=R(2)=\emptyset\,.$ [/mm] Und [mm] $R^{-1}\,$ [/mm] enthält kein Paar
$(y,x)$ mit $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $-1 [mm] \le [/mm] y < [mm] 0\,.$
[/mm]
Und nimm' obige Mengen [mm] $X,Y\,$ [/mm] und setze mal [mm] $R:=\emptyset\,.$ [/mm] Auch
hier ist [mm] $R\,$ [/mm] injektiv. Wie sieht [mm] $R^{-1}$ [/mm] aus?
Und nun nimm' [mm] $X,Y\,$ [/mm] wieder wie oben aber setze [mm] $R:=\{(x,y): x \in X \text{ und }y=|x|\}\,.$ [/mm] Offenbar ist [mm] $R\,$ [/mm] nicht injektiv. Warum ist [mm] $R^{-1}$ [/mm] keine partielle Abbildung? (Tipp: Es gilt hier etwa
[mm] $R^{-1}(1)=\{x \in \IR: (x,1) \in R\}=\{x \in \IR: |x|=1\}\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel, vielen Dank für deinen ausführlichen Beitrag und deine Mühe, ich weiß das wirklich zu schätzen!
Du hast recht, ich hätte die Definitionen und die Aufgabe präziser angeben sollen. Naja, das Beweisen ist für mich leider ein neues Feld und ich hoffe ihr habt ein wenig Verständnis für meine Fehler. Ich versuche mal deine Anweisungen so gut es geht zu zu befolgen.
> Hallo,
>
> > > Ich habe den Eindruck, dass hierbei eine gewisse Unklarheit
> > > herrscht, was eine (partielle) Abbildung ist. Ich vermute
> > > partielle Abbildung [mm]f[/mm] von [mm]A[/mm] in [mm]B[/mm] wurde definiert als Menge
> > > von Paaren [mm](a,b)[/mm] mit [mm]a\in A[/mm], [mm]b\in B[/mm] mit folgenden
> > > Eigenschaften:
> > >
> >
> > Also in der Vorlesung wurde bei uns eine partielle
> > Abbildung folgendermaßen definiert:
> >
> > [mm]X, Y[/mm] nichtleere Mengen, [mm]R \subseteq X \times Y[/mm] Relation,
> > für [mm]x \in X[/mm] bezeichne [mm]R(x)=\{y\in Y | xRy\}[/mm]
> > - R
> heißt
> > partielle Abbildung, falls [mm]|R(x)|\leq 1[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
>
> bevor wir hier nun weitermachen, wäre es nun sinnvoll,
> wenn Du uns mal
> alle für die Aufgabe notwendigen Definitionen, die Euch
> bereitgestellt
> worden sind, aufzählst:
In Ordnung, das wären dann folgende Definitionen
$X, Y$ nichtleere Mengen, [mm] $R\subseteq X\times [/mm] Y$ Relation, für [mm] $x\in [/mm] X$ bezeichne [mm] $R(x)=\{ y\in Y : xRy\}$
[/mm]
- Abbildung: R heißt Abbildung, falls $|R(x)| = 1$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$
Notation / Schreibweise:
[mm] $f:X\to [/mm] Y$ $f$ Abb. von $X$ nach $Y$
$f(x)$ das eindeutig bestimmte Element mit $x [mm] \underset{f}{\sim} [/mm] f(x)$ (eigentlich [mm] $f(x)=\{y\}$ [/mm] mit $x [mm] \underset{f}{\sim} [/mm] y$
[mm] $Y^X [/mm] := [mm] \{f:X\to Y\}$
[/mm]
- partielle Abbildung: R heißt partielle Abbildung, falls $|R(x)| [mm] \leq [/mm] 1 $ für alle [mm] $x\in [/mm] X$
Notation: [mm] $R:X^{\supset} \to [/mm] Y$
- Urbildbereich der partiellen Abbildung R: [mm] $dom(R):=\{x\in X : |R(x)|=1\}$
[/mm]
- Bildbereich der partiellen Abbildung R: [mm] $im(R):=\{y\in Y: |R^{-1}(y)|\geq 1\}$
[/mm]
- Umkehrung: [mm] $R^{-1}(y):=\{x\in X : (x,y)\in R\}$ [/mm] für [mm] $x\in [/mm] dom(R)$, dann bezeichnet $R(x)$ das eindeutig
bestimmte Element aus $Y$ mit [mm] $(x,R(x))\in [/mm] R$
- Umkehrabbildung oder untere Abbildung zu $f$: [mm] $f^{-1}(y)=\{x: f(x)=y\}$
[/mm]
- Injektivität: für jedes Bild [mm] $y\in [/mm] Y$ existiert höchstens ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x)=y$, d.h. für alle [mm] $y\in [/mm] Y$
gilt [mm] $|f^{-1}(y)|\leq [/mm] 1$
>
> P.S.
> Mal ein Beispiel:
> Setze [mm]X:=\IR[/mm] und [mm]Y:=[-1,\infty)[/mm] und definiere [mm]R:=\{(x,y) \in X \times Y: x \le 0 \text{ und }y:=-x=|x|\}\,.[/mm]
>
> Dann ist [mm]R\,[/mm] eine partielle Abbildung, denn es gilt
> [mm]|R(x)|=1\,[/mm] für alle
> [mm]x \le 0[/mm] und es gilt [mm]R(x)=0\,[/mm] für alle [mm]x \in \IR \setminus \{r \in \IR: r \le 0\}=(0,\infty)\,.[/mm]
> Offenbar ist [mm]R\,[/mm] injektiv. Dennoch gilt für die
> (folgenden)
> Mengen [mm]R(1)=R(2)=\emptyset\,.[/mm] Und [mm]R^{-1}\,[/mm] enthält kein
> Paar
> [mm](y,x)[/mm] mit [mm]x \in \IR[/mm] und [mm]-1 \le y < 0\,.[/mm]
>
> Und nimm' obige Mengen [mm]X,Y\,[/mm] und setze mal [mm]R:=\emptyset\,.[/mm]
> Auch
> hier ist [mm]R\,[/mm] injektiv. Wie sieht [mm]R^{-1}[/mm] aus?
Mein Ansatz:
Da $|R(x)|=0$ , ist die Bedingung [mm] $|R(x)|\leq [/mm] 1$ für eine partielle Abbildung erfüllt und [mm] $R^{-1}$ [/mm] ist eine partielle Abbildung.
> Und nun nimm' [mm]X,Y\,[/mm] wieder wie oben aber setze [mm]R:=\{(x,y): x \in X \text{ und }y=|x|\}\,.[/mm]
> Offenbar ist [mm]R\,[/mm] nicht injektiv. Warum ist [mm]R^{-1}[/mm] keine
> partielle Abbildung? (Tipp: Es gilt hier etwa
> [mm]R^{-1}(1)=\{x \in \IR: (x,1) \in R\}=\{x \in \IR: |x|=1\}\,.[/mm])
Mein Ansatz:
Angenommen [mm] $R^{-1}$ [/mm] sei eine partielle Abbildung, so müsste gelten [mm] $|R^{-1}(y)|\leq [/mm] 1$ für alle $y [mm] \in [/mm] Y$
Betrachtet nun $y=1$ , so folgt wegen $y=|x|$, [mm] $R^{-1}(y)=\{1,-1\} \Rightarrow |R^{-1}(y)|=2$ [/mm] was ein Widerspruch zur Annahme ist, somit ist [mm] $R^{-1}$ [/mm] keine partielle Abbildung.
>
> Gruß,
> Marcel
passt das so?
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:10 Di 16.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe gerade erst gesehen, dass Du nochmal eine Rückfrage gestellt hast.
Ich werde versuchen, sie möglichst bald zu beantworten, allerdings kann
das wegen ein wenig Stress etwas dauern. Mit viel Glück heute abend (denn
wir haben ja schon nach 0 Uhr). Ansonsten sieht vll. jmd. anderes den
Beitrag jetzt nochmal, von daher ist wenigstens meine Mitteilung auch
diesbezüglich sinnvoll.
Wollte nur mitteilen, dass ich Dich nicht absichtlich ignoriert habe! 
Aber jetzt ist's mir doch zu spät!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Di 16.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Proposition,
> > Paar
> > [mm](y,x)[/mm] mit [mm]x \in \IR[/mm] und [mm]-1 \le y < 0\,.[/mm]
> >
> > Und nimm' obige Mengen [mm]X,Y\,[/mm] und setze mal [mm]R:=\emptyset\,.[/mm]
> > Auch
> > hier ist [mm]R\,[/mm] injektiv. Wie sieht [mm]R^{-1}[/mm] aus?
>
> Mein Ansatz:
> Da [mm]|R(x)|=0[/mm] , ist die Bedingung [mm]|R(x)|\leq 1[/mm] für eine
> partielle Abbildung erfüllt und [mm]R^{-1}[/mm] ist eine partielle
> Abbildung.
Richtig! Aber was ist [mm] $R^{-1}\;?$ [/mm]
> > Und nun nimm' [mm]X,Y\,[/mm] wieder wie oben aber setze [mm]R:=\{(x,y): x \in X \text{ und }y=|x|\}\,.[/mm]
> > Offenbar ist [mm]R\,[/mm] nicht injektiv. Warum ist [mm]R^{-1}[/mm] keine
> > partielle Abbildung? (Tipp: Es gilt hier etwa
> > [mm]R^{-1}(1)=\{x \in \IR: (x,1) \in R\}=\{x \in \IR: |x|=1\}\,.[/mm])
>
> Mein Ansatz:
> Angenommen [mm]R^{-1}[/mm] sei eine partielle Abbildung, so müsste
> gelten [mm]|R^{-1}(y)|\leq 1[/mm] für alle [mm]y \in Y[/mm]
> Betrachtet nun
> [mm]y=1[/mm] , so folgt wegen [mm]y=|x|[/mm], [mm]R^{-1}(y)=\{1,-1\} \Rightarrow |R^{-1}(y)|=2[/mm]
> was ein Widerspruch zur Annahme ist, somit ist [mm]R^{-1}[/mm] keine
> partielle Abbildung.
Auch richtig. Aber Du brauchst hier keinen Wiederspruchsbeweis zu bemühen! Das geht genauso einsichtig und einfacher direkt.
Gruß,
Wolfgang
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