Injektivität und Surjektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 So 13.05.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | Seien f: A -> B, g: B -> C Abbildungen.
Zeigen sie:
a) g o f injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv
b) g of surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g surjektiv |
Es wäre sehr nett,wenn mir jemand sagen könnte,wie ich an diese Aufgabe rangehen soll....
Wie beweise ich denn (g o [mm] f)(x_{1})=(g [/mm] o [mm] f)(x_{2}) \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2})? [/mm] Das ist es doch, was ich zeigen muss oder? und wie mach ich das bei b) ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 So 13.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien f: A -> B, g: B -> C Abbildungen.
> Zeigen sie:
> a) g o f injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f injektiv
> b) g of surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] g surjektiv
> Es wäre sehr nett,wenn mir jemand sagen könnte,wie ich an
> diese Aufgabe rangehen soll....
> Wie beweise ich denn (g o [mm]f)(x_{1})=(g[/mm] o [mm]f)(x_{2}) \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2})?[/mm]
> Das ist es doch, was ich zeigen muss oder?
Nein. Du musst zeigen: Ist [mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$, [/mm] so ist [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$.
[/mm]
Wenn jetzt aber [mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$ [/mm] ist, dann ist insbesondere auch [mm] $g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2))$, [/mm] also $(g [mm] \circ f)(x_1) [/mm] = (g [mm] \circ f)(x_2)$. [/mm] Kommst du damit jetzt weiter?
> und wie mach ich das bei b) ?
Prinzipiell genauso. Du musst zeigen, dass es zu jedem $c [mm] \in [/mm] C$ ein $b [mm] \in [/mm] B$ mit $g(b) = c$ gibt.
Jetzt weisst du allerdings, dass es ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $(g [mm] \circ [/mm] f)(a) = c$ gibt.
Kommst du damit weiter?
LG Felix
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Hallo annklo!
> Seien f: A -> B, g: B -> C Abbildungen.
> Zeigen sie:
> a) g o f injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f injektiv
> b) g of surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] g surjektiv
> Es wäre sehr nett,wenn mir jemand sagen könnte,wie ich an
> diese Aufgabe rangehen soll....
Zu a): Nimm mal an, f sei nicht injektiv. Dann gibt es [mm]a_1,a_2 \in A[/mm] mit [mm]a_1 \not= a_2[/mm] und [mm]f(a_1) = f(a_2) =: b \in B[/mm]. Was ist dann [mm](g \circ f)(a_1), (g \circ f)(a_2)[/mm]?
Zu b): Angenommen, g wäre nicht surjektiv. Dann gibt es ein [mm]c \in C[/mm], so daß für alle [mm]b \in B[/mm] gilt: [mm]c \not= g(b)[/mm]. Da [mm](g \circ f)[/mm] surjektiv ist, gibt es für dieses c ein [mm]a \in A[/mm] mit [mm]c=(g \circ f)(a)[/mm]. Setze nun [mm]b:=f(a)[/mm]. Was ist dann [mm]g(b)[/mm]?
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 13.05.2007 | | Autor: | annklo |
zu a) es kommt jeweils für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] g(b) raus aber was sagt mir das? das es injektiv ist, da für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] das selbe rauskommt??
zu b) ich weiß nicht,was mir das g(b) sagen soll... ich weiß das es ungleich c ist,weiß ich somit,dass es surjektiv ist,weil es ein g(b) für c gibt?
ich versteh das nicht :-( aber danke schonmal für die nette hilfe
lg anne
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> zu a) es kommt jeweils für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] g(b) raus aber
> was sagt mir das? das es injektiv ist, da für [mm]x_{1}[/mm] und
> [mm]x_{2}[/mm] das selbe rauskommt??
Es sagt Dir, daß wenn f nicht injektiv ist, dann auch [mm](g \circ f)[/mm] nicht injektiv ist. Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist f injektiv.
> zu b) ich weiß nicht,was mir das g(b) sagen soll...
Es ist g(b) = c. Das sagt Dir, daß es offenbar, im Widerspruch zur Annahme, g sei nicht surjektiv, doch ein [mm]b \in B[/mm] gibt mit [mm]g(b) = c[/mm], nämlich [mm]b = f(a)[/mm]. Also ist g surjektiv.
LG
Karsten
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