Injektivität und Surjektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
wenn ich ganz allgemein beweisen will dass eine Abbildung Surjektiv, injektiv oder bijektiv ist, wie gehe ich da am besten vor?
Für Unjektivität gehe ich so vor, dass ich bei f(x) ein +x und ein -x einsetze und dann schaue, ob gleiche Werte herauskommen. Wenn nicht, ist die Funktion injektiv.
Aber wie gehe ich dann für die Surjektivität vor? Ich müsste das irgendwie mit dem Urbild beweisen, aber ich habe das Prinzip nicht verstanden.
|
|
| |
|
Hallo Englein89,
> Hallo,
>
> wenn ich ganz allgemein beweisen will dass eine Abbildung
> Surjektiv, injektiv oder bijektiv ist, wie gehe ich da am
> besten vor?
>
> Für Unjektivität gehe ich so vor, dass ich bei f(x) ein +x
> und ein -x einsetze ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und dann schaue, ob gleiche Werte
> herauskommen. Wenn nicht, ist die Funktion injektiv.
Nein, hier versuchst du die Injektivität mit einem Gegenbsp. zu widerlegen, was auch in Ordnung ist, aber dass es genau x und -x tun, ist reiner Zufall  , es könnten ja auch [mm] $x_1=2$ [/mm] und [mm] $x_2=3$ [/mm] tun
Im Prinzip hast du 2 Möglichkeiten, die Injektivität nachzuweisen:
1) Nimm dir beliebige [mm] $x_1,x_2$ [/mm] aus dem Definitionsbereich her mit [mm] $x_1\neq x_2$ [/mm] und zeige, dass dann auch [mm] $f(x_1)\neq f(x_2)$ [/mm] ist, dann ist f injektiv
2) gleichwertig mit Kontraposition: Nimm dir [mm] $f(x_1),f(x_2)$ [/mm] aus dem Zielbereich her mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] und zeige, dass dann gefälligst auch [mm] $x_1=x_2$ [/mm] sein muss, dann ist f injektiv
Je nach Funktion, die gegeben ist, ist die eine oder andere Variante einfacher ...
>
> Aber wie gehe ich dann für die Surjektivität vor? Ich
> müsste das irgendwie mit dem Urbild beweisen, aber ich habe
> das Prinzip nicht verstanden.
Du musst dir ein beliebiges $y$ aus dem Zielbereich hernehmen und zeigen, dass es auch tatsächlich von einem $x$ aus dem Definitionsbereich getroffen wird.
Wenn du eine Funktion [mm] $f:A\to [/mm] B$ gegeben hast musst du also zeigen, dass
[mm] $\forall y\in B\exists x\in [/mm] A: f(x)=y$
Vllt. nimmst du dir am besten mal ein paar Beispiele her, versuchst was zu rechnen und stellst dann konkrete Fragen, wenn du hängen bleibst, dann sehen wir weiter, ok?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Okay, danke soweit.
Demnach wäre zB [mm] g(x)=x^2 [/mm] bujektiv, weil ich für 2 beliebige Werte (6 und 8) unterschiedl Ergebnisse bekomme?
Und es wäre surjektiv, weil.. 4 getroffen wird durch x=2? oder weil 16 getroffen wird durch x=4 etc?
|
|
|
| |
|
g(x) = [mm] x^{2}, [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
ist nicht surjektiv, weil sonst z.B. auch -1 im Wertebereich vorkommen müsste. Aber [mm] x^{2} [/mm] = -1 hat für x [mm] \in \IR [/mm] keine Lösung
ist nicht injektiv, weil es z.B. zu der Zahl 4 im Wertebereich zwei unterschiedliche Zahlen im Definitionsbereich gibt, die auf 4 abgebildet werden, nämlich +2 und -2, d.h. 4 = [mm] (+2)^{2} [/mm] = [mm] (-2)^{2}
[/mm]
Aber:
g(x) = [mm] x^{2}, [/mm] als Abbildung von [mm] \IR \to \IR^{+}_{0}
[/mm]
ist surjektiv:
Jedes y im Wertebereich wird von x = [mm] \wurzel{y} [/mm] getroffen: [mm] x^{2} [/mm] = [mm] \wurzel{y}^{2} [/mm] = y
Aber:
g(x) = [mm] x^{2}, [/mm] als Abbildung von [mm] \IR^{+}_{0} \to \IR
[/mm]
ist injektiv, denn:
Aus [mm] g(x_{1}) [/mm] = [mm] g(x_{2}) [/mm] folgt [mm] x_{1}^{2} [/mm] = [mm] x_{2}^{2} [/mm] folgt 0 = [mm] x_{1}^{2} [/mm] - [mm] x_{2}^{2} [/mm] folgt 0 = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] x_{2})*(x_{1} [/mm] - [mm] x_{2}) [/mm] folgt [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] oder [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -x_{2}
[/mm]
Weil [mm] x_{i} \ge [/mm] 0 nach Voraussetzung (siehe Abbildungsvorschrift), folgt aus letzterem: [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] oder [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -x_{2} [/mm] = 0 = [mm] x_{2}, [/mm] also in beiden Fällen stets [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}, [/mm] was zu beweisen war.
Aber:
g(x) = [mm] x^{2}, [/mm] als Abbildung von [mm] \IR^{+}_{0} \to \IR^{+}_{0}
[/mm]
ist bijektiv,
denn nach obigen Ausführungen folgt unmittelbar, dass diese Abbildung genauso wie [mm] \IR \to \IR^{+}_{0} [/mm] surjektiv und dass diese Abbildung genauso wie [mm] \IR^{+}_{0} \to \IR [/mm] injektiv ist.
|
|
|
|
