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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 04.01.2009 | | Autor: | LaCaT |
| Aufgabe | Sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung. Definiere
[mm] F_{1}: \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(B) [/mm] : S [mm] \mapsto [/mm] f(S) bzw.
[mm] F_{2}: \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A) [/mm] : T [mm] \mapsto f^{-1}(T).
[/mm]
Beweisen Sie:
(a) f ist injektiv [mm] \gdw F_{1} [/mm] ist injektiv [mm] \gdw F_{2} [/mm] ist surjektiv.
(b) f ist surjektiv [mm] \gdw F_{1} [/mm] ist surjektiv [mm] \gdw F_{2} [/mm] ist injektiv.
(c) f ist bijektiv [mm] \Rightarrow F_{1} [/mm] und [mm] F_{2} [/mm] sind bijektiv und es gilt [mm] F_{1}^{-1} [/mm] = [mm] F_{2}. [/mm] |
Es handelt sich hierbei um eine Aufgabe aus meinen Hausaufgaben für die Uni und leider habe ich keine Ahnung wie ich anfangen soll.
Es wäre super nett wenn mir jemand zumindest einen Ansatz geben könnte oder ähnliches.
Danke im voraus und liebe grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 So 04.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei f: A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung. Definiere
>
> [mm]F_{1}: \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(B)[/mm] : S [mm]\mapsto[/mm] f(S)
> bzw.
> [mm]F_{2}: \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A)[/mm] : T [mm]\mapsto f^{-1}(T).[/mm]
>
> Beweisen Sie:
> (a) f ist injektiv [mm]\gdw F_{1}[/mm] ist injektiv [mm]\gdw F_{2}[/mm]
> ist surjektiv.
> (b) f ist surjektiv [mm]\gdw F_{1}[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw F_{2}[/mm]
> ist injektiv.
> (c) f ist bijektiv [mm]\Rightarrow F_{1}[/mm] und [mm]F_{2}[/mm] sind
> bijektiv und es gilt [mm]F_{1}^{-1}[/mm] = [mm]F_{2}.[/mm]
> Es handelt sich hierbei um eine Aufgabe aus meinen
> Hausaufgaben für die Uni und leider habe ich keine Ahnung
> wie ich anfangen soll.
> Es wäre super nett wenn mir jemand zumindest einen Ansatz
> geben könnte oder ähnliches.
Zunächst einmal gilt:
(1) [mm]F_1(S_1\cup S_2) = F_1(S_1) \cup F_1(S_2) [/mm],
außerdem
(2) [mm]F_1(S_1\cap S_2) \subseteq F_1(S_1) \cap F_1(S_2) [/mm]
und
(3) [mm] F_2(T_1\cup T_2) = F_2(T_1) \cup F_2(T_2) [/mm],
(4) [mm] F_2(T_1\cap T_2) = F_2(T_1) \cap F_2(T_2) [/mm].
Ferner ist [mm] $f^{-1}(B)=A$, [/mm] also [mm] $F_2(B)=A$.
[/mm]
Nun ist [mm] $F_1(\{a\}) [/mm] = [mm] \{f(a)\}$. [/mm] Daher ist für [mm] $a_1,a_2\in [/mm] A$, für die [mm] $f(a_1)=f(a_2)$:
[/mm]
[mm]F_1(\{a_1\}) = \{f(a_1)\} = \{f(a_2)\} = F_1(\{a_2\}) [/mm].
Wenn [mm] $F_1$ [/mm] injektiv ist, so folgt insbesondere aus
[mm] F_1(\{a_1\}) = F_1(\{a_2\}) [/mm]
auch [mm] $\{a_1\} [/mm] = [mm] \{a_2\}) [/mm] $ und damit [mm] $a_1=a_2$, [/mm] das heisst f ist injektiv.
Wenn wir diese Argumentation umdrehen, also mit f injektiv starten, so haben wir noch nicht die gewünschte Aussage, sondern nur den Spezialfall für Mengen mit einem Element. Für die Injektivität von [mm] $F_1$ [/mm] muss für beliebige Mengen [mm] $A_1,A_2\subset [/mm] A$ gelten, dass aus [mm] $F_1(A_1) [/mm] = [mm] F_1(A_2)$ [/mm] die Gleichheit [mm] $A_1=A_2$ [/mm] folgt.
Da kommt uns die Beziehung (1) zu Hilfe, mit der wir den allgemeinen Fall auf den Fall einelementiger Mengen zurückführen können.
Für die Surjektivität von [mm] $F_2$ [/mm] gehst du ähnlich vor. Wenn f injektiv ist, so ist [mm] $F_2(\{b_1\}$ [/mm] eine Menge mit nur einem Element [mm] $a_1$. [/mm] Also ist f injektiv, wenn alle einelementigen Mengen im Bild von [mm] $F_2$ [/mm] vorkommen.
Mit (3) und (4) folgt aus [mm] $F_2(\{b_1\}=\{a_1\}$, [/mm] dass [mm] $F_2(B \backslash \{b_1\}) [/mm] = [mm] A\backslash \{a_1\}$. [/mm] Hier musst du wieder den Schritt zu beliebigen Mengen machen und hast dann Teilaufgabe a.
Die Schlussweise bei b) ist wieder ähnlich, und c) folgt aus a) und b).
Viele Grüße
Rainer
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