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| Aufgabe | Es sei f:M->N eine Abbildung und [mm] M_1,M_2 \subset M [/mm], sowie [mm] N_1 \subset N [/mm]. Zeigen Sie:
a) Falls f injektiv ist, gilt [mm] f(M_1 \cup M_2) = f(M_1) \cup f(M_2) [/mm]
b) Falls f injektiv ist, gilt [mm] f^{-1}(f(M_1))=M_1 [/mm]
c) Falls f surjektiv ist, gilt [mm] f(f^{-1}(N_1))=N_1 [/mm] |
Hallo zusammen
zu Teil a habe ich eine recht gute Idee, wobei ich mir nicht ganz sicherbin ob das so reicht, bzw. wie man es genauer machen könnte:
[mm] y \in f(M_1 \cup M_2) [/mm]
[mm] \gdw \exists ! x \in M_1 \cup M_2: f(x)=y [/mm]
[mm] \gdw \exists ! x \in M_1:f(x)=y \wedge \exists !x \in M_2: f(x)=y [/mm]
[mm] \gdw y \in f(M_1) \cup f(M_2) [/mm]
Bei b) und c) fehlt es mir leider vollkommen an Ideen. Mir ist klar das ich das über die Eigenschaften fon Injektivität und Surjektivität schaffen muss, (dieser Ringschluss aus drei äquivalenten Aussagen), mir ist nur ein Rätsel wie das gehen solll und ich wäre für Hinweise sehr dankbar.
Gruß
Mathezwerg
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> Es sei f:M->N eine Abbildung und [mm]M_1,M_2 \subset M [/mm], sowie
> [mm]N_1 \subset N [/mm]. Zeigen Sie:
> a) Falls f injektiv ist, gilt [mm]f(M_1 \cup M_2) = f(M_1) \cup f(M_2)[/mm]
>
> b) Falls f injektiv ist, gilt [mm]f^{-1}(f(M_1))=M_1[/mm]
> c) Falls f surjektiv ist, gilt [mm]f(f^{-1}(N_1))=N_1[/mm]
> Hallo zusammen
> zu Teil a habe ich eine recht gute Idee, wobei ich mir
> nicht ganz sicherbin ob das so reicht, bzw. wie man es
> genauer machen könnte:
Hallo,
die Aussage a) gilt immer, auch wenn f nicht injektiv ist. Die Injektivität schadet natürlich nicht...
Klopfe Deinen Beweis mal daraufhin ab, wo Du wirklich benötigt hast, daß es genau ein x mit f(x)=y gibt. Du wirst feststellen: nirgends.
> [mm]y \in f(M_1 \cup M_2)[/mm]
> [mm]\gdw \exists ! x \in M_1 \cup M_2: f(x)=y[/mm]
Die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] stimmt so nicht ganz: daraus, daß [mm] y\in f(M_1\cup M_2) [/mm] folgt nicht, daß es genau ein solches Element x gibt, sondern nur, daß es eines gibt.
"genau eins" kommt von der Injektivität, und das müßte hier erwähnt werden.
(Tip: ich würde für den Anfang bei solchen Beweisen wirklich immer beide Beweisrichtungen getrennt führen, man macht weniger Fehler.)
>
[mm]> \gdw \exists ! x \in M_1:f(x)=y \red{\wedge }\exists !x \in M_2: f(x)=y[/mm]
Das rote Zeichen ist natürlich falsch.
>
> [mm]\gdw y \in f(M_1) \cup f(M_2)[/mm]
>
> Bei b) und c) fehlt es mir leider vollkommen an Ideen.
> b) Falls f injektiv ist, gilt $ [mm] f^{-1}(f(M_1))=M_1 [/mm] $
Voraussetzung: b ist injektiv.
Zu zeigen:
1. [mm] f^{-1}(f(M_1))\subseteq M_1
[/mm]
2. [mm] M_1\subseteq f^{-1}(f(M_1)).
[/mm]
Beweis:
zu1.
Sei [mm] x\in f^{-1}(f(M_1)).
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] y\in f(M_1) [/mm] mit f(x)=y.
Da [mm] y\in f(M_1) [/mm] gibt es ein [mm] x_1\in M_1 [/mm] mit [mm] f(x_1)=y.
[/mm]
Also ist ...=..., und weil f n.V. injektiv, gilt ....
Also ist [mm] x\in M_1.
[/mm]
zu2. Diese (triviale) Aussage gilt auch für Funktionen, die nicht injektiv sind.
Sei [mm] x\in M_1. [/mm] Dann ist [mm] f(x)\in f(M_1) [/mm] und somit ...
Danach versuche c).
Gruß v. Angela
Mir
> ist klar das ich das über die Eigenschaften fon
> Injektivität und Surjektivität schaffen muss, (dieser
> Ringschluss aus drei äquivalenten Aussagen), mir ist nur
> ein Rätsel wie das gehen solll und ich wäre für Hinweise
> sehr dankbar.
> Gruß
> Mathezwerg
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Hi,
danke für die schnelle Antwort. Leider ist mir gerade aufgefallen, dass es in der Aufgabe a) nicht um Vereinigungen, sondern Schnitte ging. also:
[mm] f(M_1 \cap M_2)=f(M_1) \cap f(M_2) [/mm]
und mein Beweis, war entsprechend auch mit Schnitten.
Also habe ich auch die Injektivität gebraucht. Eben bei der ersten Äquivalenz.
Ich habe den Beweis tatsächlich zumächst in zwei Teilen gemacht, aber diese enthielten genau die gleichen Schritte, nur umgedreht, also dachte ich dass ich sie auch gleich zusammen schreiben kann...
Was die b) angeht, habe ich das jetzt auf folgendes beschränkt:
Vorraussetzung: f ist injektiv
[mm] "\subseteq" [/mm]
Sei [mm] x \in f^{-1}(f(M_1)) [/mm]
[mm] \Rightarrow \exists y \in f(M_1): f(x)=y [/mm]
[mm] y \in f(M_1) \Rightarrow \exists x_1 \in M_1: f(x_1)=y [/mm]
[mm] \Rightarrow f(x)=f(x_1)[/mm]
N.V. [mm] \Rightarrow x=x_1 \Rightarrow x \in M_1 [/mm]
[mm] "\supseteq" [/mm]
Sei [mm] x \in M_1 \Rightarrow f(x) \in f(M_1) \Rightarrow \exists y \in f(M_1):f(x)=y \Rightarrow x \in f^{-1}(f(M_1))[/mm]
Bei c) brauche ich doch eigentlich nur zu sagen:
[mm] "\subseteq" [/mm]
Sei [mm] y \in f(f^{-1}(N_1)) [/mm]
[mm] \Rightarrow \exists x \in f^{-1}(N_1): f(x)=y [/mm]
[mm] \Rightarrow y \in N_1 [/mm]
Oder vergesse ich da irgendwas? Der Rückweg, ist ja vollkommen analog zu b)...
Gruß
Mathezwerg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 03.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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