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| Aufgabe | Es seien A, B, und C nicht-leere Mengen und f: A->B und g: B->C zwei abbildungen. Zeigen Sie:
a) Wenn [mm] g \circ f [/mm] injektiv ist, dann ist auch f injektiv, aber g im Allgemeinen nicht.
b) Wenn [mm] g \circ f [/mm] surjektiv ist, dann ist auch g surjektiv, aber f im Allgemeinen nicht. |
Hallo zusammen,
ansich denke ich, dass ich die Beweise einigermaßen hinbekommen habe, jedoch bin ich mir gerade bei b) unsicher und vorallem, wollen mir einfach keine Funktionen einfallen um ein Gegenbeispiel dafür zu zeigen, das (bei a)) g im Allgemeinen nicht injektiv ist.
Was meine Beweise angeht:
a) Sei [mm] g \circ f [/mm] injektiv:
[mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm]
[mm] \Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2)) [/mm]
[mm] \Rightarrow g \circ f (x_1)=g\circ f(x_2)[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1=x_2[/mm]
[mm] \Rightarrow f [/mm] ist injektiv
b) Sei [mm] g \circ f [/mm] surjektiv:
[mm] g \circ f(A)=C [/mm]
[mm] \Rightarrow g(f(A))=C [/mm]
[mm] \Rightarrow g [/mm] ist surjektiv
Ich bitte um eventuelle Korrektur und Hilfe
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> Es seien A, B, und C nicht-leere Mengen und f: A->B und g:
> B->C zwei abbildungen. Zeigen Sie:
> a) Wenn [mm]g \circ f[/mm] injektiv ist, dann ist auch f injektiv,
> aber g im Allgemeinen nicht.
> b) Wenn [mm]g \circ f[/mm] surjektiv ist, dann ist auch g
> surjektiv, aber f im Allgemeinen nicht.
> Hallo zusammen,
> ansich denke ich, dass ich die Beweise einigermaßen
> hinbekommen habe, jedoch bin ich mir gerade bei b) unsicher
> und vorallem, wollen mir einfach keine Funktionen einfallen
> um ein Gegenbeispiel dafür zu zeigen, das (bei a)) g im
> Allgemeinen nicht injektiv ist.
> Was meine Beweise angeht:
> a) Sei [mm]g \circ f[/mm] injektiv:
Zu zeigen: f ist injektiv, dh. aus [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] folgt [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Es sei
> [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
> [mm]\Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2))[/mm]
> [mm]\Rightarrow \red{(}g \circ f \red{)}(x_1)=\red{(}g\circ f\red{)}(x_2)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_1=x_2[/mm] [mm] \qquad [/mm] [green ] denn [mm] g\circ [/mm] f ist injektiv.
> [mm]\Rightarrow f[/mm] ist injektiv
Wenn Dua das so schreibst, dann bedeutet das, daß aus [mm] x_1=x_2 [/mm] die Injektivität folgt. das stimmt aber nicht, sie folgt, weil aus [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] folgt: [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Schreib als abschließenden Satz: "Also ist f injektiv".
>
> b) Sei [mm]g \circ f[/mm] surjektiv:
> [mm]g \circ f(A)=C[/mm]
> [mm]\Rightarrow g(f(A))=C[/mm]
> [mm]\Rightarrow g[/mm] ist
> surjektiv
Das überzeugt mich nicht richtig.
Ich müßte hier irgendwie sehen, daß g(B)= C ist,
bzw. Du mußt mir zu jedem [mm] c\in [/mm] C ein [mm] b\in [/mm] B sagen können mit g(b)=c.
Sei also [mm] c\in [/mm] C.
Weil [mm] g\circ [/mm] f surjektiv, gibt es ein ... mit ...
Also ist g(...)= c, und damit ist g surjektiv.
Du schreibst, daß Du keine passenden Beispiele gefunden hast.
Was hast Du denn versucht?
Du mußt nicht unbedingt "hochtrabende" Funktionen suchen, sondern kannst Dir kleine Mengen A, B, C nehmen und irgendwelche dort definierten "unkomplizierten Funktionen.
Zu b).
[mm] A:={1,2\} B:=\{ q,r,s\} C:=\{t\}
[/mm]
f: [mm] A\to [/mm] B
f(1)=q
f(2)=r
[mm] g:B\to [/mm] C
g(q):=t
g(r):=t
g(s):=t.
Überzeuge Dich davon, daß [mm] g\circ [/mm] f surjektiv ist,
und daß f nicht surjektiv ist.
Sicher fällt Dir in diesem Stile auch ein beispiel für a) ein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Mathezwerg |
Auch hier vielen Dank für die schnelle Antwort!
Habe alle Hinweise verstanden und beherzigt (hoffe ich), und mein Beweis für b) sieht jetzt so aus:
Voraussetzung: [mm] g \circ f [/mm] ist surjektiv
Sei [mm] c \in C [/mm]
n.V. [mm] \Rightarrow \exists f(a) \in f(A):g(f(a))=c [/mm]
Da [mm] f(A) \subseteq B [/mm] ist [mm] a \in B [/mm] gilt [mm] g(B)=C [/mm]
Und somit ist [mm] g \circ f [/mm] surjektiv.
Hoffe mal das reicht so.
Das mit den Beispielen war so auch kein Problem mehr. Ich hatte einfach viel zu kompliziert gedacht, mit funktionen wie [mm] x \mapsto x^2 [/mm] oder [mm] x \mapsto x+1 [/mm]...
Also vielen Dank und lieben Gruß
Mathezwerg
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