Injektivität zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 28.10.2008 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Seien f:X [mm] \to [/mm] Y und g:Y [mm] \to [/mm] Z Abbildungen. Zeigen Sie:
a) g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv [mm] \to [/mm] f ist injektiv
b) g [mm] \circ [/mm] f ist surjektiv [mm] \to [/mm] f ist surjektiv |
Hallo erstmal. Ich habe mir jetzt schon einige Diskussionen zum Thema angeschaut und würde gerne wissen, ob meine Lösung jetzt als Beweis durchgehen kann. :)
Hier also meine Idee:
a) Es gilt folgendes:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \varepsilon [/mm] X: g(f(x)) = g(f(y)) [mm] \Rightarrow [/mm] x =y
Wenn ich jetzt x, y beliebig wähle mit f(x) = f(y), muss ich zeigen, dass x =y folgt.
Da f(x) = f(y) gilt, gilt auch g(f(x)) = g(f(y)).
Laut Voraussetzung ist also x =y [mm] \Rightarrow [/mm] Somit habe ich gezeigt, dass f injektiv ist
Irgendwie habe ich aber da das Gefühl, dass etwas fehlt, weil ich eigentlich nur Aussagen umformuliert habe.
b) Bei b bin ich mir nicht sicher. Ich würde es mit einem Gegenbeweis versuchen
Ich nehme also an, das g nicht surjektiv ist
Es gilt also:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \varepsilon [/mm] Y: [mm] \exists [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] X : g(x) [mm] \not= [/mm] y
(Also Bild- und Zielmenge stimmen nicht überein)
Irgendwie hänge ich hier bei der Formulierung. Wie beweise ich dass diese Aussage nicht stimmt
Ich hoffe sehr, dass ihr mir helfen könnt, da ich bei dem Thema gerade wenig durchblicke und mich auch zum ersten Mal mit Notationen und Mengen beschäftige.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Di 28.10.2008 | | Autor: | unknown |
Moin,
> Seien f:X [mm]\to[/mm] Y und g:Y [mm]\to[/mm] Z Abbildungen. Zeigen Sie:
> a) g [mm]\circ[/mm] f ist injektiv [mm]\to[/mm] f ist injektiv
> b) g [mm]\circ[/mm] f ist surjektiv [mm]\to[/mm] f ist surjektiv
Du meinst wohl, dass bei b) [mm] $g\!\,$ [/mm] surjektiv sein soll.
> a) Es gilt folgendes:
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\varepsilon[/mm] X: g(f(x)) = g(f(y)) [mm]\Rightarrow[/mm] x
> =y
> Wenn ich jetzt x, y beliebig wähle mit f(x) = f(y), muss
> ich zeigen, dass x =y folgt.
> Da f(x) = f(y) gilt, gilt auch g(f(x)) = g(f(y)).
> Laut Voraussetzung ist also x =y [mm]\Rightarrow[/mm] Somit habe
> ich gezeigt, dass f injektiv ist
Klingt gut für mich.
> Irgendwie habe ich aber da das Gefühl, dass etwas fehlt,
> weil ich eigentlich nur Aussagen umformuliert habe.
Naja, genau darum geht es bei der Algebra ;).
> b) Bei b bin ich mir nicht sicher. Ich würde es mit einem
> Gegenbeweis versuchen
> Ich nehme also an, das g nicht surjektiv ist
> Es gilt also:
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\varepsilon[/mm] Y: [mm]\exists[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] X : g(x)
> [mm]\not=[/mm] y
Hier hast Du jetzt aber etwas durcheinander gebracht. Wenn Du die Aussage [mm] "$g\!\,$ [/mm] ist surjektiv" negieren willst, dann musst Du die ganze Aussage negieren, einschließlich der Quantoren. Außerdem bildet [mm] $g\!\,$ [/mm] von [mm] $Y\!\,$ [/mm] nach [mm] $Z\!\,$ [/mm] ab, und nicht von [mm] $X\!\,$ [/mm] nach [mm] $Y\!\,$. [/mm] Das heißt, die Negation ist
[mm] [quote]$\exists [/mm] z [mm] \in Z\, \forall [/mm] y [mm] \in Y:\; [/mm] g(z) [mm] \neq [/mm] y$[/quote].
(Man schreibt bei Enthaltensein in Mengen übrigens "\in" [mm] ($\in$) [/mm] anstelle von "\varepsilon" [mm] ("\varepsilon")).
[/mm]
> Irgendwie hänge ich hier bei der Formulierung. Wie
> beweise ich dass diese Aussage nicht stimmt
Du nimmst $z [mm] \in [/mm] Z$ beliebig und zeigst, dass er sehr wohl ein $y [mm] \in [/mm] Y$ geben muss mit [mm] $\!\,g(y) [/mm] = z$. Dann hast Du einen Widerspruch zur Annahme, und die Aussage ist bewiesen. Bei der Suche nach so einem $y$ ist natürlich die Voraussetzung, dass [mm] $g\circ [/mm] f$ surjektiv ist sehr nützlich.
Hoffe, das hilft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Di 28.10.2008 | | Autor: | Klemme |
> > b) g [mm]\circ[/mm] f ist surjektiv [mm]\to[/mm] f ist surjektiv
>
> Du meinst wohl, dass bei b) [mm]g\!\,[/mm] surjektiv sein soll.
Oh tatsächlich. Sorry
>
> > b) Bei b bin ich mir nicht sicher. Ich würde es mit einem
> > Gegenbeweis versuchen
> > Ich nehme also an, das g nicht surjektiv ist
> > Es gilt also:
> > [mm]\forall[/mm] y [mm]\varepsilon[/mm] Y: [mm]\exists[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] X : g(x)
> > [mm]\not=[/mm] y
>
> Hier hast Du jetzt aber etwas durcheinander gebracht. Wenn
> Du die Aussage "[mm]g\!\,[/mm] ist surjektiv" negieren willst, dann
> musst Du die ganze Aussage negieren, einschließlich der
> Quantoren. Außerdem bildet [mm]g\!\,[/mm] von [mm]Y\!\,[/mm] nach [mm]Z\!\,[/mm] ab,
> und nicht von [mm]X\!\,[/mm] nach [mm]Y\!\,[/mm]. Das heißt, die Negation
> ist
>
> [mm]\exists z \in Z\, \forall y \in Y:\; g(z) \neq y[/mm].
>
Danke. Ich versuchs dann gleich nochmal.
> (Man schreibt bei Enthaltensein in Mengen übrigens
> [mm]"[code]\in[/code]"[/mm] ([mm]\in[/mm]) anstelle von
> [mm]"[code]\varepsilon[/code]" ("\varepsilon")).[/mm]
Ok ich merks mir ^^ (Dieses Zeichen hab ich auch gemeint. Hab mich wohl verguckt)
Danke auch noch mal für die schnelle Antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Di 28.10.2008 | | Autor: | Klemme |
Das Thema hat sich damit erledigt. Sorry wenn ich das jetzt bei meiner Anzwort falsch markiert habe.
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