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| Aufgabe | | Wie viele $n-$stellige (natürliche) Zahlen existieren, die 0,1,2 nicht enthalten, jedoch aber 3,4,5. |
Nun, seien dazu:
[mm] $N_1 [/mm] = [mm] \{ $ n-stellige Zahlen, die 0,1,2 enthalten $\}$ [/mm]
[mm] $N_2 [/mm] = [mm] \{ $ n-stellige Zahlen, die 3,4,5 enthalten $\}$ [/mm]
[mm] $N_3 [/mm] = [mm] \{ $ n-stellige Zahlen, die 6,7,8,9 enthalten $\}$ [/mm]
Das Ergebnis müsste nun so lautet:
[mm] $|N_1 \cap N_3 [/mm] | - [mm] |N_1 \cap N_2| [/mm] - [mm] |N_1 \cap N_3| [/mm] $
Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich noch etwas übersehen habe, jedenfalls ist klar, dass ich die Menge suche, die NUR Elemente aus [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_3$ [/mm] enthält.
So, jetzt muss ich mir doch - um das Ergebnis quantifizieren zu können - die Frage stellen: Wie viele $n-$stelligen Zahlen gibt es, die o.B.d.A. durch (mindestens) aus den Ziffern 3,4,5 bestehen?
Nun, am Anfang hab ich für den 3er $n$-Plätze frei, dann für den 4er $n-1$ und schließlich $n-2$ für den 5er.
Nun, am Anfang dachte ich mir, es müsse (deshalb) $n(n-1)(n-2)$ (Variation ohne Wiederholung) sein, doch ist mir dann aufgefallen, dass diese Zahl weit zu gering ist.
Klar ist mir nur, dass es genau [mm] $10^n$ [/mm] n-stellige Zahlen gibt.
Das Problem ist ja, dass ich diese 3 Zahlen beliebig auf $n$ Zahlen verteile, das macht die Anzahl erheblich größer als meine erste Vermutung.
Nun, meine jetzige Idee dazu ist: Wenn ich eine bestimmte Anordnung von den 3-Zahlen habe, dann habe ich von den restlichen $n-3$ Zahlen ja $(n-3)! $ Vertauschungsmöglichkeiten. Und da es 3! Möglichkeiten gibt diese 3 Zahlen anzuordnen, müsste es nun $3! + (n-3)!$ Möglichkeiten geben.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich meinen Ansatz berichtigen könnte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 04.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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