Inkugel in Pyramide < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Di 03.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen SIe die Gleichung der Inkugel an die Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
Gegeben: A(3/-3/0), B(3/3/0), C(-3/-3/0), S(0/0/4)
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Moin,
hier ist mir nicht klar, wie ich vorgehen müsste.
Den Punkt D habe ichmit (-3/3/0) angenommen, weiss aber nicht, wie ich das mit Formeln hinkriege.
Eine Inkugel muss alle Flächen der Pyramide berühren.
Den Mittelpunkt der Grundfläche habe ich bestimmtmithilfe der
Seitenmitten
E: [mm] \bruch{1}{2}*\overline{BD} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*( \vektor{3 \\ 3 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{-3 \\ +3 \\ 0} [/mm] ) = [mm] \vektor{ 0\\ 3 \\ 0}
[/mm]
F: [mm] \bruch{1}{2}*\overline{AC} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*( \vektor{3 \\ -3 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{-3 \\ -3 \\ 0} [/mm] ) = [mm] \vektor{ 0\\ -3 \\ 0}
[/mm]
Mittelpunkt der Grundfläche
M: [mm] \bruch{1}{2}*(E+F) [/mm] = (0 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 0)
Nun vermute ich dass, der Kugelmittelpunkt auf der z-Achse liegt, kann es aber nicht beweisen.
Ich könnte (insgesamt 5) Ebenengleichungen aufstellen, die Normalenvektoren bilden... klingt aber ziemlich aufwändig.
Eigentlich müsste ich ja Geradengleichungen aufstellen, die einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, nämlich den gesuchten Kugelmittelpunkt.
Aber außer dem Normalenvektor als jeweiligem Richtungsvektor der jeweiligen Gerade weiss ich nicht, welchen Aufpunkt ich überhaupt wählen könnte.
Wie gesagt, z.B.
[mm] Ebene_{ABS} [/mm] : [mm] \vektor{3 \\ -3 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 6 \\ 0} [/mm] ) + [mm] s*\vektor{ -3\\ 3 \\ 4}
[/mm]
[mm] vec{n_{ABS}}= \vektor{ 24\\ 0 \\ 18}
[/mm]
Hat jemand eine Idee?
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Di 03.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen SIe die Gleichung der Inkugel an die Pyramide mit
> quadratischer Grundfläche.
>
> Gegeben: A(3/-3/0), B(3/3/0), C(-3/-3/0), S(0/0/4)
>
> Moin,
>
> hier ist mir nicht klar, wie ich vorgehen müsste.
>
> Den Punkt D habe ichmit (-3/3/0) angenommen, weiss aber
> nicht, wie ich das mit Formeln hinkriege.
Wenn es ein Quadrat ist, muss der Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] gleich dem Vektor [mm] \overrightarrow{DC} [/mm] sein.
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> Eine Inkugel muss alle Flächen der Pyramide berühren.
>
>
> Den Mittelpunkt der Grundfläche habe ich bestimmtmithilfe
> der
>
> Seitenmitten
>
> E: [mm]\bruch{1}{2}*\overline{BD}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*( \vektor{3 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\vektor{-3 \\ +3 \\ 0}[/mm] ) = [mm]\vektor{ 0\\ 3 \\ 0}[/mm]
>
> F: [mm]\bruch{1}{2}*\overline{AC}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*( \vektor{3 \\ -3 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\vektor{-3 \\ -3 \\ 0}[/mm] ) = [mm]\vektor{ 0\\ -3 \\ 0}[/mm]
>
>
> Mittelpunkt der Grundfläche
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> M: [mm]\bruch{1}{2}*(E+F)[/mm] = (0 [mm]\\[/mm] 0 [mm]\\[/mm] 0)
>
>
> Nun vermute ich dass, der Kugelmittelpunkt auf der z-Achse
> liegt, kann es aber nicht beweisen.
>
> Ich könnte (insgesamt 5) Ebenengleichungen aufstellen, die
> Normalenvektoren bilden... klingt aber ziemlich aufwändig.
>
> Eigentlich müsste ich ja Geradengleichungen aufstellen, die
> einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, nämlich den gesuchten
> Kugelmittelpunkt.
>
> Aber außer dem Normalenvektor als jeweiligem
> Richtungsvektor der jeweiligen Gerade weiss ich nicht,
> welchen Aufpunkt ich überhaupt wählen könnte.
>
> Wie gesagt, z.B.
>
> [mm]Ebene_{ABS}[/mm] : [mm]\vektor{3 \\ -3 \\ 0}[/mm] + [mm]r*\vektor{0 \\ 6 \\ 0}[/mm]
> ) + [mm]s*\vektor{ -3\\ 3 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]vec{n_{ABS}}= \vektor{ 24\\ 0 \\ 18}[/mm]
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> Hat jemand eine Idee?
>
> Gruß
> Wolfgang
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>
Hallo,
du kannst das räumliche Problem auf ein ebenes Problem reduzieren, wenn du die Pyramische schneidest mit einer Ebene, die durch die Spitze und die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Quadratseiten verläuft. (Die y-z-Ebene ist eine mögliche Schnittebene). Dann suchst du nur noch den Inkreismittelpunkt eines gleichschenkligen Dreiecks.)
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 03.02.2009 | | Autor: | weduwe |
oder du arbeitest mit der HNF einer seitenfläche, z.b
[mm] E_{ABS}: \frac{4x+3z-12}{5}=0
[/mm]
und nun setzt du den mittelpunkt M(0/0/r) ein und beachtest, dass gilt
[mm] d(M;E_{ABS})=\pm [/mm] r , was (auch) auf [mm]r = \frac{3}{2}[/mm] führt
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