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| Aufgabe | | Es sei X ein topologischer Raum. Ein Punkt x einer Menge M ist innerer Punkt dieser Menge genau dann, wenn M Umgebung von x ist. M ist offen genau dann, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist. |
Hallo!
hab mal wieder eine Vielzahl von Fragen zu dem obigen Satz
Stimmen diese Aussagen:
1.Wenn M offen ist, dann sind alle ihre Punkte innere Punkte. Dann ist M die Umgebung und die Umgebung ist offen. Z.B. M=(a,b), dann ist der Rand [mm] \{a,b\}. [/mm] Die inneren Punkte sind dann in (a,b), dies entspricht somit [mm] M^0 [/mm] (Kern der Menge M)
2. Wenn M geschlossen, dann ist der offene Kern [mm] M^0 [/mm] die größte offene Menge in M, d.h. ein Punkt, der in M liegt, muss im offenen Kern liegen, [mm] x\in M^0\subset [/mm] M. Also ist M eine Umgebung, die geschlossen ist. [mm] M^0 [/mm] wäre dann die offene Umgebung dazu. Z.B. M=[a,b]´, dann ist der offene Kern [mm] M^0=(a,b) [/mm] und alle inneren Punkte liegen darin.
Wie kann ich diesen Satz jetzt auf den Sierpinski-Raum anwenden?
Sierpinski-Raum [mm] (X,\underline{X}) [/mm] mit X={0,1} und [mm] \underline{X}=\{\emptyset,\{0\}, X\}. [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei X ein topologischer Raum. Ein Punkt x einer Menge M
> ist innerer Punkt dieser Menge genau dann, wenn M Umgebung
> von x ist. M ist offen genau dann, wenn sie Umgebung jedes
> ihrer Punkte ist.
> Hallo!
> hab mal wieder eine Vielzahl von Fragen zu dem obigen
> Satz
> Stimmen diese Aussagen:
> 1.Wenn M offen ist, dann sind alle ihre Punkte innere
> Punkte.
Wenn Du mit "ihre Punkte" meinst "punkte in M", so stimmt obiges.
> Dann ist M die Umgebung
Was heißt "die Umgebung" ???? Wenn M offen ist, ist M Umgebung eine jeden Punktes in M
> und die Umgebung ist offen.
Wenn Du mit Umgebung die Menge M meinst, ja. Aber M war doch von vorneherein offen.
> Z.B. M=(a,b), dann ist der Rand [mm]\{a,b\}.[/mm] Die inneren Punkte
> sind dann in (a,b), dies entspricht somit [mm]M^0[/mm] (Kern der
> Menge M)
Ja, [mm] \partial [/mm] M = [mm]\{a,b\}[/mm] und [mm] M^o=M
[/mm]
>
> 2. Wenn M geschlossen
Du meinst wohl .. M abgeschlossen ...
> , dann ist der offene Kern [mm]M^0[/mm] die
> größte offene Menge in M,
Ja, aber dazu muß M nicht abgeschlossen sein. Für eine Teilmenge A eines topologischen Raumes ist [mm] A^o [/mm] die größte offene Teilmenge von A ( im Sinne von Mengeninklusion)
> d.h. ein Punkt, der in M liegt,
> muss im offenen Kern liegen,
Nein, wieso denn das ? Ist M=[a,b], so ist [mm] M^o=(a,b). [/mm] a [mm] \in [/mm] M, aber a [mm] \notin M^o
[/mm]
> [mm]x\in M^0\subset[/mm] M.
Ja, das gilt immer
> Also ist M eine Umgebung
von was ???. Ist x [mm] \in M^o, [/mm] so ist M eine Umgebung von x. Ist aber x [mm] \in [/mm] M und x [mm] \notin M^o, [/mm] so wird M i.a. keine Umgebung von x sein
> , die geschlossen ist.
abgeschlossen !!!
> [mm]M^0[/mm] wäre dann die
> offene Umgebung dazu.
siehe oben.
> Z.B. M=[a,b]´, dann ist der offene
> Kern [mm]M^0=(a,b)[/mm] und alle inneren Punkte liegen darin.
wo darin ????
>
> Wie kann ich diesen Satz jetzt auf den Sierpinski-Raum
> anwenden?
> Sierpinski-Raum [mm](X,\underline{X})[/mm] mit X={0,1} und
> [mm]\underline{X}=\{\emptyset,\{0\}, X\}.[/mm]
Welchen Satz willst Du auf welche Situation anwenden ??
FRED
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Hallo Fred!
ich will dir jetzt erstmal danken- ohne dich wäre ich total aufgeschmissen-danke danke danke! Danke auch für deine GEDULD!!!
1. Ein Punkt, der in der abgeschlossenen Menge M liegt, muss nicht im Kern liegen. Denn Ist M=[a,b], so ist , a [mm] \in [/mm] M, aber a [mm] \not \in [/mm] M
Wenn ich aber schreibe, ein [mm] \textbf{innerer} [/mm] Punkt [mm] x_0 [/mm] der Menge M, dann muss [mm] x_0 [/mm] im Kern liegen, oder?
2. Jetzt will ich mit dem Sierpinski-Raum den folgenden Satz am Beispiel erläutern...
Es sei X ein topologischer Raum. Ein Punkt x einer Menge M ist innerer Punkt dieser Menge genau dann, wenn M Umgebung von x ist. M ist offen genau dann, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist.
Meine Idee (wahrscheinlich wieder total schwachsinnig):
Mein Punkt ist jetzt x=0, [mm] x\in [/mm] X. X ist offen, also Umgebung von x.
Aber da fehlt irgendwie noch was...
3. Kennst du ein Beispiel in R, bei dem es keine inneren Punkte gibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
> ich will dir jetzt erstmal danken- ohne dich wäre ich
> total aufgeschmissen-danke danke danke! Danke auch für
> deine GEDULD!!!
>
>
> 1. Ein Punkt, der in der abgeschlossenen Menge M liegt,
> muss nicht im Kern liegen. Denn Ist M=[a,b], so ist , a
> [mm]\in[/mm] M, aber a [mm]\not \in[/mm] M
Du meinst a [mm]\not \in[/mm] [mm] M^o
[/mm]
> Wenn ich aber schreibe, ein [mm]\textbf{innerer}[/mm] Punkt [mm]x_0[/mm] der
> Menge M, dann muss [mm]x_0[/mm] im Kern liegen, oder?
Ja
>
> 2. Jetzt will ich mit dem Sierpinski-Raum den folgenden
> Satz am Beispiel erläutern...
> Es sei X ein topologischer Raum. Ein Punkt x einer Menge M
> ist innerer Punkt dieser Menge genau dann, wenn M Umgebung
> von x ist. M ist offen genau dann, wenn sie Umgebung jedes
> ihrer Punkte ist.
> Meine Idee (wahrscheinlich wieder total schwachsinnig):
> Mein Punkt ist jetzt x=0, [mm]x\in[/mm] X. X ist offen, also
> Umgebung von x.
> Aber da fehlt irgendwie noch was...
Wenn M=X ist ist doch alles palletti , oder nicht ?
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> 3. Kennst du ein Beispiel in R, bei dem es keine inneren
> Punkte gibt?
[mm] \{0\} [/mm] hat keine inneren Punkte
FRED
>
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d.h. die Menge M=(a,a) in der natürlichen Topologie besitzt den Rand
[mm] \partial [/mm] M={a,a}. Die Menge besteht nur aus dem Rand und somit gibt es keine inneren Punkte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> d.h. die Menge M=(a,a)
Diese Menge ist leer !
FRED
> in der natürlichen Topologie
> besitzt den Rand
> [mm]\partial[/mm] M={a,a}. Die Menge besteht nur aus dem Rand und
> somit gibt es keine inneren Punkte.
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ja das hab ich mir inzwischen auch gedacht... kannst du mir das mit der [mm] \{0}\ [/mm] nochmal erklären?
Was wäre denn bei der Klumpentopologie/indiskreten Topologie mein innerer Punkt? Da gibt es doch auch keinen inneren Punkt, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Fr 21.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> ja das hab ich mir inzwischen auch gedacht... kannst du mir
> das mit der [mm]\{0}\[/mm] nochmal erklären?
Wir versehen [mm] \IR [/mm] mit der natürlichen Topologie und setzen [mm] $M:=\{0\}$. [/mm] Wenn M überhaupt innere Punkte hat, so kommt nur x=0 in Frage. Angenommen, x=0 wäre ein innerer Punkt von M. Dann gibt es ein r>0 mit: (-r,r) [mm] \subseteq [/mm] M.
Aber das ist ja nun völliger Blödsinn. FAZIT: M hat keine inneren Punkte
>
> Was wäre denn bei der Klumpentopologie/indiskreten
> Topologie mein innerer Punkt?
Dein innerer Punkt ? Gehört der Dir ? Innerer Punkt von welcher Menge ? Du mußt schon genauer fragen.
> Da gibt es doch auch keinen
> inneren Punkt, oder?
Pass mal Obacht: der Begriff "innerer Punkt" ist nur sinnvoll in Bezug auf eine Menge [mm] (x_0 \in [/mm] M ist innerer Punkt von M .....)
>
Sei X versehen mit der indiskreten Topologie, das bedeutet für eine Teilmenge M von X:
(*) M ist offen [mm] \gdw [/mm] M= [mm] \emptyset [/mm] oder M=X
Sei A eine Teilmenge von X und [mm] x_0 \in [/mm] A. Ist [mm] x_0 [/mm] innerer Punkt von A, so gibt es eine offen Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] mit U [mm] \subset [/mm] A.
Da [mm] x_0 \in [/mm] U, ist U [mm] \ne \emptyset. [/mm] Mit (*) folgt: U=X.
Wegen U [mm] \subset [/mm] A, haben wir: A=X
Fazit:
Ist X mit der indiskreten Topologie topologie versehen, so gibt es nur eine einzige Teilmenge von X, die innere Punkte besitzt, nämlich X selbst.
FRED
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| Aufgabe | Es sei X ein topologischer Raum. Ein Punkt x einer Menge M
ist innerer Punkt dieser Menge genau dann, wenn M Umgebung
von x ist. M ist offen genau dann, wenn sie Umgebung jedes
ihrer Punkte ist. |
Hab da einen Beweis vorliegen...
Beweis Teil 1:
x sei innerer Punkt von M. Dann ist der offene Kern [mm] M^0 [/mm] eine offene MEnge mit [mm] x\in M^0 \subset [/mm] M. Also ist M eine Umgebung von x.
Müsste da eigentlich nicht [mm] x\in M^0 \subseteq [/mm] M stehen?
Wenn meine Menge ABgeschlossen ist, dann ist [mm] M^0 [/mm] die grösste offene Menge in M, somit würde x [mm] \in M^0 \subset [/mm] M passen.
Wenn aber die Menge offen ist dann sind doch alle Punkte von M innere Punkte und [mm] M^0 [/mm] =M. Dann müsste da doch [mm] x\in M^0 \subseteq [/mm] M stehen, oder? Wahrscheinlich blicke ich es bloß wieder nicht mit den Teilmengen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Sa 22.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Manchmal schreibt man [mm] \subset [/mm] statt [mm] \subseteq
[/mm]
FRED
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