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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Do 06.11.2008 | | Autor: | s.1988 |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in [/mm] Q mit 0<a<b. Wir definieren a1,a2,a3,... und b1,b2,b3,... rekursiv durch:
a1=a b1=b
[mm] a_{n+1}=2a_{n} b_{n} [/mm] / [mm] (a_{n} [/mm] + [mm] b_{n})
[/mm]
[mm] b_{n+1}=(a_{n} [/mm] + [mm] b_{n}) [/mm] /2
Aufgabe c) [mm] \wurzel{ab} \in I_{n} [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] N |
Hallo,
ich habe die anderen Aufgabne alle schon fertig, jetzt muss ich nur noch zeigen, dass c so ist.
Ich habe mir gedacht, dass ich das mit vollst. Induktion machen kann.
Der Fall n=1 wäre ja ziemlich einfach.
Wenn ich dann den Fall das es für n gilt vorraussetze, dann muss ich ja nur noch zeigen, dass [mm] \wurzel{ab} [/mm] im Intervall an,bn liegt.
Aber da komme ich nicht weiter, ein Tipp wäre echt klasse.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Fr 07.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Verrätst Du uns auch, was [mm] I_n [/mm] ist ???
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Fr 07.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Seien a,b [mm]\in[/mm] Q mit 0<a<b. Wir definieren a1,a2,a3,... und
> b1,b2,b3,... rekursiv durch:
> a1=a b1=b
> [mm]a_{n+1}=2a_{n} b_{n}[/mm] / [mm](a_{n}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm]
> [mm]b_{n+1}=(a_{n}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm] /2
>
> Aufgabe c) [mm]\wurzel{ab} \in I_{n}[/mm] für alle n [mm]\in[/mm] N
> Hallo,
> ich habe die anderen Aufgabne alle schon fertig, jetzt
> muss ich nur noch zeigen, dass c so ist.
> Ich habe mir gedacht, dass ich das mit vollst. Induktion
> machen kann.
> Der Fall n=1 wäre ja ziemlich einfach.
> Wenn ich dann den Fall das es für n gilt vorraussetze,
> dann muss ich ja nur noch zeigen, dass [mm]\wurzel{ab}[/mm] im
> Intervall an,bn liegt.
Also [mm] $I_n [/mm] = [mm] [a_n, b_n]$?
[/mm]
Beachte erstmal $a b = [mm] a_n b_n$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Das kannst du leicht per Induktion zeigen.
Damit reduziert sich Aufgabenteil (c) auf die Aussage, dass aus $0 < a < b$ folgt, dass [mm] $\frac{2 a b}{a + b} \le \sqrt{a b} \le \frac{a + b}{2}$ [/mm] ist.
Zur ersten Ungleichung. Wenn du mit [mm] $\frac{a + b}{2}$ [/mm] multiplizierst und durch [mm] $\sqrt{a b}$ [/mm] teilst, erhaelst du [mm] $\sqrt{a b} \le \frac{a + b}{2}$; [/mm] somit ist die erste Ungleichung aequivalent zur zweiten.
Die zweite Ungleichung, [mm] $\sqrt{a b} \le \frac{a + b}{2}$, [/mm] ist die arithmetisch-geometrische Ungleichung; in diesem Fall geht es sogar noch viel einfacher mit der 2. binomischen Formel, du musst die Ungleichung nur quadrieren und etwas umformen.
LG Felix
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